Seja dada por . Mostre que existem um aberto contendo , um aberto contendo e uma função tais que é a inversa de . Determine .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por . Queremos mostrar que existe um conjunto aberto ao redor de e um conjunto aberto ao redor de onde a função tem uma inversa . Além disso, precisamos determinar o jacobiano de no ponto . Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Função Inversa, que nos ajuda a encontrar a inversa de uma função diferenciável quando o determinante da matriz jacobiana é não nulo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é diferenciável. Como é composta por operações polinomiais (adição, multiplicação e potenciação), ela é diferenciável em todo .

Passo 3

Agora, vamos calcular a matriz jacobiana de . A matriz jacobiana de uma função é dada por:
Para a nossa função :
Então, a matriz jacobiana de é:

Passo 4

Vamos avaliar o determinante da matriz jacobiana no ponto :
Substituindo :
Como o determinante é diferente de zero ( ), o Teorema da Função Inversa nos garante que existe uma vizinhança aberta de e uma vizinhança aberta de onde é invertível.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a função inversa . Para isso, precisamos resolver o sistema:
Queremos expressar e em termos de e . Vamos resolver o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Isso é uma equação quadrática em . Resolvendo para :
Como estamos próximos de , escolhemos a solução que nos dá quando e :
Agora, substituímos em :
Então, a função inversa é:

Passo 6

Finalmente, vamos determinar o jacobiano de no ponto . Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Para :
Para :
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto :
Primeiro, calculamos , então .
Então:
Portanto, a matriz jacobiana é:

Resposta

A matriz jacobiana da função inversa no ponto é:

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a)