Seja
dada por
. Mostre que existem um aberto
contendo
, um aberto
contendo
e uma função
tais que
é a inversa de
. Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função
definida por
. Queremos mostrar que existe um conjunto aberto
ao redor de
e um conjunto aberto
ao redor de
onde a função
tem uma inversa
. Além disso, precisamos determinar o jacobiano de
no ponto
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Função Inversa, que nos ajuda a encontrar a inversa de uma função diferenciável quando o determinante da matriz jacobiana é não nulo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é diferenciável. Como
é composta por operações polinomiais (adição, multiplicação e potenciação), ela é diferenciável em todo
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a matriz jacobiana de
. A matriz jacobiana
de uma função
é dada por:
Para a nossa função
:
Então, a matriz jacobiana de
é:
Passo 4
Vamos avaliar o determinante da matriz jacobiana
no ponto
:
Substituindo
:
Como o determinante é diferente de zero (
), o Teorema da Função Inversa nos garante que existe uma vizinhança aberta
de
e uma vizinhança aberta
de
onde
é invertível.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a função inversa
. Para isso, precisamos resolver o sistema:
Queremos expressar
e
em termos de
e
. Vamos resolver o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Isso é uma equação quadrática em
. Resolvendo para
:
Como estamos próximos de
, escolhemos a solução que nos dá
quando
e
:
Agora, substituímos
em
:
Então, a função inversa
é:
Passo 6
Finalmente, vamos determinar o jacobiano de
no ponto
. Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Para
:
Para
:
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto
:
Primeiro, calculamos
, então
.
Então:
Portanto, a matriz jacobiana
é:
Resposta
A matriz jacobiana da função inversa
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Considere o sistema não linear
Use o Teorema da Aplicação Implícita para mostrar que existem um aberto
contendo 1 e um aberto
contendo
tais que, para cada
, existe um único
de maneira que
satisfaça o sistema. Determine
.
Sejam
e
dadas por
e
. Use a Regra da Cadeia para determinar
.
Calcule
, onde
é a porção de
de
a
.
Calcule a divergência dos seguintes campos vetoriais:
a)
a)