Calcule , onde é a porção de de a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha: , onde é a parte da curva que vai de até . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente, de integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva e calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . A equação representa duas retas: para e para . Nosso percurso vai de até , passando por esses dois segmentos. Então, vamos dividir a curva em duas partes:
  1. C1: De a seguindo .
  2. C2: De a seguindo .

Passo 3

Vamos parametrizar cada segmento.
Para C1 ( ):
  • Podemos usar , então , onde varia de a .
  • Assim, e .
Para C2 ( ):
  • Aqui, também podemos usar , então , onde varia de a .
  • Assim, e .

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral em cada segmento e depois somar os resultados.
Integral em C1:
Simplificando:
Calculando as integrais:
Avaliado de a :
Integral em C2:
Calculando as integrais:

Resposta

Somando as integrais de e :
Portanto, o valor da integral é .

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