Calcule
, onde
é a porção de
de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha:
, onde
é a parte da curva
que vai de
até
. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente, de integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva
e calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. A equação
representa duas retas:
para
e
para
. Nosso percurso vai de
até
, passando por esses dois segmentos. Então, vamos dividir a curva em duas partes:
- C1: De
a seguindo . - C2: De
a seguindo .
Passo 3
Vamos parametrizar cada segmento.
Para C1 (
):
- Podemos usar
, então , onde varia de a . - Assim,
e .
Para C2 (
):
- Aqui, também podemos usar
, então , onde varia de a . - Assim,
e .
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral em cada segmento e depois somar os resultados.
Integral em C1:
Simplificando:
Calculando as integrais:
Avaliado de
a
:
Integral em C2:
Calculando as integrais:
Resposta
Somando as integrais de
e
:
Portanto, o valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Seja
dada por
. Mostre que existem um aberto
contendo
, um aberto
contendo
e uma função
tais que
é a inversa de
. Determine
.
Considere o sistema não linear
Use o Teorema da Aplicação Implícita para mostrar que existem um aberto
contendo 1 e um aberto
contendo
tais que, para cada
, existe um único
de maneira que
satisfaça o sistema. Determine
.
Calcule a divergência dos seguintes campos vetoriais:
a)
a)
Calcule o rotacional dos seguintes campos vetoriais:
b)
b)