Calcule integralC x y^2 d x-x y d y, onde C é a porção de y=|x| de (-2,2) a (1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha: integralC x y^2 , dx - x y , dy, onde C é a parte da curva y=|x| que vai de (-2,2) até (1,1). Aqui, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente, de integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva C e calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva C. A equação y=|x| representa duas retas: y = x para x >= 0 e y = -x para x < 0. Nosso percurso vai de (-2,2) até (1,1), passando por esses dois segmentos. Então, vamos dividir a curva em duas partes:
  1. C1: De (-2,2) a (0,0) seguindo y = -x.
  2. C2: De (0,0) a (1,1) seguindo y = x.

Passo 3

Vamos parametrizar cada segmento.
Para C1 ( y = -x):
  • Podemos usar x = t, então y = -t, onde t varia de -2 a 0.
  • Assim, dx = dt e dy = -dt.
Para C2 ( y = x):
  • Aqui, também podemos usar x = t, então y = t, onde t varia de 0 a 1.
  • Assim, dx = dt e dy = dt.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral em cada segmento e depois somar os resultados.
Integral em C1:
integralC1 x y^2 , dx - x y , dy = integral-2^0 t (-t)^2 , dt - t (-t) , (-dt)
Simplificando:
= integral-2^0 t t^2 , dt - t (-t) (-dt) = integral-2^0 t^3 , dt - integral-2^0 t^2 , dt
Calculando as integrais:
integral t^3 , dt = t^44 e integral t^2 , dt = t^33
Avaliado de -2 a 0:
[0^44 - (-2)^44] - [0^33 - (-2)^33] = [0 - 164] - [0 - -83] = -4 + 83 = -43
Integral em C2:
integralC2 x y^2 , dx - x y , dy = integral0^1 t t^2 , dt - t t , dt = integral0^1 t^3 , dt - integral0^1 t^2 , dt
Calculando as integrais:
[1^44 - 0^44] - [1^33 - 0^33] = 14 - 13 = -112

Resposta

Somando as integrais de C1 e C2:
-43 + (-112) = -1612 - 112 = -1712
Portanto, o valor da integral é -1712.

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