Esboce o gráfico das funções abaixo. Para isto, determine a interseção com os eixos (caso exista), o domínio, os máximos e mínimos (caso existam), os intervalos de crescimento de decrescimento, os intervalos em que a função é côncava para cima e para baixo, os pontos de inflexão (caso exista) e calcule todos os limites necessários.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos precisar analisar várias características dela, como onde ela intercepta os eixos, seu domínio (os valores de
que a função pode assumir), os máximos e mínimos, onde está crescendo ou decrescendo, a concavidade, pontos de inflexão e calcular alguns limites. Basicamente, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e limites para entender melhor essa função.
Passo 2
Domínio da Função
Primeiro, vamos descobrir onde a função está definida. O domínio de uma função são todos os valores de
para os quais a função existe.
A função
tem
no denominador, e divisão por zero não é permitida. Então, precisamos que
, ou seja,
.
Portanto, o domínio de
é todos os reais menos zero:
Passo 3
Interseções com os Eixos
Vamos ver onde a função intercepta os eixos
e
.
-
Interseção com o Eixo
: Para encontrar onde a função cruza o eixo , substituímos . Mas, como vimos no domínio, não está definido na função. Então, não há interseção com o eixo . -
Interseção com o Eixo
: Para encontrar onde a função cruza o eixo , resolvemos :
O numerador,
, nunca é zero para nenhum valor real de
. Então, não há interseção com o eixo
.
Passo 4
Limites
Vamos analisar o comportamento da função nos extremos do domínio e próximo aos pontos onde não está definida.
- Limite quando
se aproxima de 0:
A função tende ao infinito positivo quando
se aproxima de zero por qualquer lado.
- Limite quando
tende ao infinito positivo:
O exponencial cresce mais rápido que o polinômio, então o limite é infinito positivo.
- Limite quando
tende ao infinito negativo:
O exponencial decresce para zero e o denominador cresce, então o limite é zero.
Passo 5
Derivada para Encontrar Máximos, Mínimos e Intervalos de Crescimento/Decrescimento
Vamos calcular a primeira derivada
para encontrar onde a função tem máximos ou mínimos, e descobrir onde está crescendo ou decrescendo.
A função é:
Usamos a regra do quociente:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos
:
Como
nunca é zero, temos:
Análise dos Intervalos:
- Para
: Vamos escolher :
A função está crescendo.
- Para
: Vamos escolher :
A função está decrescendo.
- Para
: Vamos escolher :
A função está crescendo.
Conclusão:
- Máximo ou Mínimo em
: Como a função passa de decrescente para crescente, temos um mínimo em .
Passo 6
Segunda Derivada para Analisar Concavidade e Pontos de Inflexão
Vamos calcular a segunda derivada
para descobrir onde a função é côncava para cima ou para baixo e identificar possíveis pontos de inflexão.
Primeiro, temos a primeira derivada:
Calculamos a segunda derivada usando a regra do quociente novamente:
Calculando as derivadas:
Substituindo:
Para encontrar os pontos de inflexão, igualamos
:
Como
e
nunca são zero (lembrando que
), temos:
Análise dos Intervalos de Concavidade:
- Para
: Vamos escolher :
A função é côncava para cima.
- Para
: Vamos escolher :
A função é côncava para baixo.
Conclusão:
- Ponto de Inflexão em
: A concavidade muda de cima para baixo, indicando um ponto de inflexão.
Resposta
Resumindo todas as análises:
- Domínio:
- Interseções com os Eixos: Não há interseções com
ou . - Limites:
- Derivada e Extremos:
- A função tem um mínimo em
. - Crescimento:
e - Decrescimento:
- A função tem um mínimo em
- Concavidade e Ponto de Inflexão:
- Côncava para cima:
- Côncava para baixo:
- Ponto de Inflexão:
- Côncava para cima:
Com todas essas informações, você consegue esboçar o gráfico da função
, identificando suas principais características e comportamentos.
Exercícios relacionados
Calcule o rotacional dos seguintes campos vetoriais:
b)
b)
Calcule a divergência dos seguintes campos vetoriais:
a)
a)
Calcule
, onde
e
são como indicadas abaixo:
a)
a)
Esboce as curvas
com as seguintes propriedades:
para
para
.