Calcule o rotacional dos seguintes campos vetoriais:
b) F = (x + y z) i + (y + x z) j + (z + x y) k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o rotacional (ou curl) do campo vetorial . Esse tópico faz parte do cálculo vetorial, onde usamos derivadas parciais para encontrar o rotacional de um campo. Para isso, vamos precisar lembrar da fórmula do rotacional e saber como calcular derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do rotacional de um campo vetorial . O rotacional é dado por:
Isso significa que precisamos calcular algumas derivadas parciais de , e .

Passo 3

Vamos identificar as componentes do nosso campo vetorial :
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Primeiro, calculamos e :
Então, a componente do rotacional fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular e :
Então, a componente do rotacional fica:

Passo 6

Por último, vamos calcular e :
Então, a componente do rotacional fica:

Resposta

O rotacional do campo vetorial é:
Ou seja, todas as componentes são zero.

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