Calcule o divergente dos campos vetoriais:
F(x, y, z, t) = (ln x, ln x y, ln x y z t, t^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o divergente de um campo vetorial. Divergente é uma operação que nos ajuda a entender como o campo está “espalhando” ou “convergindo” em cada ponto do espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como aplicá-las em cada componente do campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar o campo vetorial dado:
Aqui, tem quatro componentes: , , e .
Nota: Normalmente, o divergente é calculado para campos vetoriais em três dimensões ( ), mas como temos uma quarta variável , vamos incluí-la no cálculo.

Passo 3

O divergente de é dado pela soma das derivadas parciais de cada componente em relação à sua variável correspondente. Ou seja:
Vamos calcular cada derivada:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 4

Agora, vamos somar todas essas derivadas para encontrar o divergente:

Resposta

O divergente do campo vetorial é:

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