Calcule o divergente dos campos vetoriais:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o **divergente** de um **campo vetorial**. Divergente é uma operação que nos ajuda a entender como o campo está "espalhando" ou "convergindo" em cada ponto do espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como aplicá-las em cada componente do campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar o campo vetorial dado:
Aqui, tem quatro componentes: , , e .
**Nota:** Normalmente, o divergente é calculado para campos vetoriais em três dimensões ( ), mas como temos uma quarta variável , vamos incluí-la no cálculo.
Passo 3
O divergente de é dado pela soma das derivadas parciais de cada componente em relação à sua variável correspondente. Ou seja:
Vamos calcular cada derivada:
1. **Para :**
2. **Para :**
3. **Para :**
4. **Para :**
Passo 4
Agora, vamos somar todas essas derivadas para encontrar o divergente:
Resposta
O divergente do campo vetorial é:
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Use o Teorema do Divergente para calcular
onde é a esfera .
Considere o campo vetorial
Calcule
se é a circunferência .
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Calcule
se é a circunferência .
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se é a superficie do parabolóide
acima do plano .