Considere o campo vetorial
Calcule
se é a circunferência .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial dado por e a gente precisa calcular a integral de circulação da divergência desse campo sobre a curva , que é a circunferência . Esse exercício está relacionado ao cálculo vetorial, mais especificamente ao conceito de divergência e integrais de linha. Para resolver, vamos precisar calcular a divergência de e depois integrar isso ao longo da curva .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência, denotada por , é uma operação que mede a “taxa de expansão” do campo em cada ponto. Para um campo vetorial , a divergência é calculada assim:
Vamos aplicar isso ao nosso campo .

Passo 3

Calculando cada derivada parcial:
  1. (usamos a regra da cadeia aqui)
Agora, somando tudo:

Passo 4

Agora, precisamos integrar essa divergência ao longo da curva , que é a circunferência . Como está no plano (já que não aparece na equação da circunferência), podemos simplificar:
Mas como ao longo de , o termo cancela:

Passo 5

Para facilitar a integração, vamos parametrizar a circunferência . Usamos coordenadas polares:
Assim, o elemento diferencial de arco na circunferência é:
Substituindo na integral:

Passo 6

Vamos agora calcular a integral:
A primeira parte é fácil:
Para a segunda parte, notamos que a função é periódica e, devido à simetria, sua integral sobre um período completo também é zero.

Resposta

Portanto, o valor da integral é:

Exercícios relacionados

Calcule o divergente dos campos vetoriais:
.
Use o Teorema do Divergente para calcular
onde é a esfera .
Calcule
se é a superficie do parabolóide
acima do plano .
Calcule
onde é a esfera unitária , utilizando coordenadas esféricas.