Considere o campo vetorial
Calcule
se
é a circunferência
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial dado por
e a gente precisa calcular a integral de circulação da divergência desse campo sobre a curva
, que é a circunferência
. Esse exercício está relacionado ao cálculo vetorial, mais especificamente ao conceito de divergência e integrais de linha. Para resolver, vamos precisar calcular a divergência de
e depois integrar isso ao longo da curva
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência, denotada por
, é uma operação que mede a “taxa de expansão” do campo em cada ponto. Para um campo vetorial
, a divergência é calculada assim:
Vamos aplicar isso ao nosso campo
.
Passo 3
Calculando cada derivada parcial:
-
-
(usamos a regra da cadeia aqui) -
Agora, somando tudo:
Passo 4
Agora, precisamos integrar essa divergência ao longo da curva
, que é a circunferência
. Como
está no plano
(já que
não aparece na equação da circunferência), podemos simplificar:
Mas como
ao longo de
, o termo
cancela:
Passo 5
Para facilitar a integração, vamos parametrizar a circunferência
. Usamos coordenadas polares:
Assim, o elemento diferencial de arco
na circunferência é:
Substituindo na integral:
Passo 6
Vamos agora calcular a integral:
A primeira parte é fácil:
Para a segunda parte, notamos que a função
é periódica e, devido à simetria, sua integral sobre um período completo também é zero.
Resposta
Portanto, o valor da integral é:
Exercícios relacionados
Calcule o divergente dos campos vetoriais:
.
Use o Teorema do Divergente para calcular
onde
é a esfera
.
Calcule
se
é a superficie do parabolóide
acima do plano
.
Calcule
onde
é a esfera unitária
, utilizando coordenadas esféricas.