Considere o campo vetorial
F(x, y, z)=(x^2, e^x y, 2 z^3)
Calcule
ointC nabla cdot F d s
se C é a circunferência x^2+y^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial dado por e a gente precisa calcular a integral de circulação da divergência desse campo sobre a curva , que é a circunferência . Esse exercício está relacionado ao cálculo vetorial, mais especificamente ao conceito de divergência e integrais de linha. Para resolver, vamos precisar calcular a divergência de e depois integrar isso ao longo da curva .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência, denotada por nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z , é uma operação que mede a “taxa de expansão” do campo em cada ponto. Para um campo vetorial , a divergência é calculada assim:
Vamos aplicar isso ao nosso campo .

Passo 3

Calculando cada derivada parcial:
  1. nabla cdot F = 2x + x e^x y + 6 z^2
  2. (usamos a regra da cadeia aqui)
Agora, somando tudo:

Passo 4

Agora, precisamos integrar essa divergência ao longo da curva ointC nabla cdot F , ds = ointC (2x + x e^x y + 6 z^2) , ds , que é a circunferência ointC nabla cdot F , ds = ointC (2x + x e^x y) , ds . Como está no plano (já que não aparece na equação da circunferência), podemos simplificar:
Mas como ao longo de , o termo cancela:

Passo 5

Para facilitar a integração, vamos parametrizar a circunferência x = cos theta, y = sin theta, theta in [0, 2pi] . Usamos coordenadas polares:
ds = raiz(dxdtheta)^2 + (dydtheta)^2 , dtheta = raiz(-sin theta)^2 + (cos theta)^2 , dtheta = dtheta
Assim, o elemento diferencial de arco ointC (2x + x e^x y) , ds = integral0^2pi (2 cos theta + cos theta , e^cos theta sin theta) dtheta na circunferência é:
Substituindo na integral:

Passo 6

Vamos agora calcular a integral:
integral0^2pi 2 cos theta , dtheta + integral0^2pi cos theta , e^cos theta sin theta , dtheta
A primeira parte é fácil:
integral0^2pi 2 cos theta , dtheta = 2 [ sin theta ]0^2pi = 2 (0 - 0) = 0
Para a segunda parte, notamos que a função é periódica e, devido à simetria, sua integral sobre um período completo também é zero.

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
ointC nabla cdot F , ds = 0

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