Use o Teorema do Divergente para calcular
onde
é a esfera
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra calcular uma integral de superfície usando o Teorema da Divergente. A gente tem o campo vetorial
e a superfície
é a esfera
. O Teorema da Divergente vai nos ajudar a transformar essa integral de superfície em uma integral de volume, o que geralmente é mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergente. Ele diz que:
Isso significa que a integral da divergente de
sobre o volume
dentro da superfície
é igual à integral de
sobre a superfície
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a divergente de
, que é dada por:
Vamos calcular cada termo:
Então, a divergente fica:
Passo 4
Agora que temos a divergente, vamos montar a integral de volume:
Como
é uma esfera de raio 1 centrada na origem, podemos usar coordenadas esféricas para facilitar a integração.
Passo 5
Em coordenadas esféricas, temos:
E o elemento de volume é:
Os limites de integração para
vão de 0 a 1, para
de 0 a
e para
de 0 a
.
Passo 6
Vamos expressar a função integranda
em coordenadas esféricas:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos separar a integral em duas partes:
Passo 8
Calculando a primeira parte:
Integral em
:
Integral em
:
Integral em
:
Então, a primeira parte é:
Passo 9
Calculando a segunda parte:
Integral em
:
Integral em
:
Portanto, a segunda parte é zero.
Resposta
A integral de superfície é
.
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Considere o campo vetorial
Calcule
se
é a circunferência
.
Calcule o rotacional dos campos vetoriais:
Calcule o divergente dos campos vetoriais:
.
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Calcule
se
é a circunferência
.