Use o Teorema do Divergente para calcular
onde é a esfera .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra calcular uma integral de superfície usando o Teorema da Divergente. A gente tem o campo vetorial e a superfície é a esfera . O Teorema da Divergente vai nos ajudar a transformar essa integral de superfície em uma integral de volume, o que geralmente é mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergente. Ele diz que:
Isso significa que a integral da divergente de sobre o volume dentro da superfície é igual à integral de sobre a superfície .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a divergente de , que é dada por:
Vamos calcular cada termo:
Então, a divergente fica:

Passo 4

Agora que temos a divergente, vamos montar a integral de volume:
Como é uma esfera de raio 1 centrada na origem, podemos usar coordenadas esféricas para facilitar a integração.

Passo 5

Em coordenadas esféricas, temos:
E o elemento de volume é:
Os limites de integração para vão de 0 a 1, para de 0 a e para de 0 a .

Passo 6

Vamos expressar a função integranda em coordenadas esféricas:
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos separar a integral em duas partes:

Passo 8

Calculando a primeira parte:
Integral em :
Integral em :
Integral em :
Então, a primeira parte é:

Passo 9

Calculando a segunda parte:
Integral em :
Integral em :
Portanto, a segunda parte é zero.

Resposta

A integral de superfície é .

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Considere o campo vetorial
Calcule
se é a circunferência .
Calcule o rotacional dos campos vetoriais:
Calcule o divergente dos campos vetoriais:
.
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se é a circunferência .