Use o Teorema do Divergente para calcular
oiintS(2 x, 2 y, z^2) cdot d S
onde S é a esfera x^2+y^2+z^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra calcular uma integral de superfície usando o Teorema da Divergente. A gente tem o campo vetorial e a superfície é a esfera . O Teorema da Divergente vai nos ajudar a transformar essa integral de superfície em uma integral de volume, o que geralmente é mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergente. Ele diz que:
oiintS F cdot dS = integral triplaV (nabla cdot F) , dV
Isso significa que a integral da divergente de sobre o volume dentro da superfície é igual à integral de sobre a superfície .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a divergente de nabla cdot F = partial (2x)partial x + partial (2y)partial y + partial (z^2)partial z , que é dada por:
partial (2x)partial x = 2
Vamos calcular cada termo:
partial (2y)partial y = 2
partial (z^2)partial z = 2z
nabla cdot F = 2 + 2 + 2z = 4 + 2z
Então, a divergente fica:

Passo 4

Agora que temos a divergente, vamos montar a integral de volume:
integral triplaV (4 + 2z) , dV
Como é uma esfera de raio 1 centrada na origem, podemos usar coordenadas esféricas para facilitar a integração.

Passo 5

Em coordenadas esféricas, temos:
x = r sintheta cosphi
y = r sintheta sinphi
z = r costheta
E o elemento de volume é:
dV = r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi
Os limites de integração para vão de 0 a 1, para de 0 a e para de 0 a .

Passo 6

Vamos expressar a função integranda 4 + 2z = 4 + 2(r costheta) em coordenadas esféricas:
integral0^2pi integral0^pi integral0^1 (4 + 2r costheta) r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos separar a integral em duas partes:
integral0^2pi dphi integral0^pi integral0^1 4r^2 sintheta , dr , dtheta + integral0^2pi dphi integral0^pi integral0^1 2r^3 costheta sintheta , dr , dtheta

Passo 8

Calculando a primeira parte:
4 integral0^2pi dphi integral0^pi sintheta , dtheta integral0^1 r^2 , dr
Integral em integral0^1 r^2 , dr = [r^33]0^1 = 13 :
integral0^pi sintheta , dtheta = 2
Integral em integral0^2pi dphi = 2pi :
4 times 2pi times 2 times 13 = 16pi3
Integral em :
Então, a primeira parte é:

Passo 9

Calculando a segunda parte:
2 integral0^2pi dphi integral0^pi costheta sintheta , dtheta integral0^1 r^3 , dr
Integral em integral0^1 r^3 , dr = [r^44]0^1 = 14 :
integral0^pi costheta sintheta , dtheta = 12 [sin^2theta]0^pi = 0
Integral em :
Portanto, a segunda parte é zero.

Resposta

A integral de superfície é .

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