Calcule
se
é a superficie do parabolóide
acima do plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de
sobre a superfície
do paraboloide dado por
que está acima do plano
. Isso envolve conhecimentos de cálculo multivariável, especialmente integrais de superfície e mudança para coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a integral dupla sobre a superfície
pode ser transformada em uma integral dupla no plano
usando a fórmula:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na expressão para
:
Passo 5
Assim, a integral original fica:
Passo 6
Para facilitar o cálculo, vamos mudar para coordenadas polares, onde
e
. Assim,
e o elemento de área
.
Passo 7
Substituindo na integral, temos:
Aqui, o limite superior
vem de
, ou seja,
.
Passo 8
Vamos resolver a integral interna com relação a
. Fazendo uma substituição
, então
ou
. Contudo, precisamos ajustar os limites e a expressão:
Mas
implica
. Substituindo:
Passo 9
Integrando termo a termo:
Agora avaliamos de
a
.
Passo 10
Calculando os limites:
Para
:
Para
:
Substituindo:
Calculando os valores:
Então:
Simplificando:
Passo 11
Agora, voltamos à integral completa com relação a
:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Considere o campo vetorial
Calcule
se
é a circunferência
.
Calcule o divergente dos campos vetoriais:
.
Calcule
onde
é a esfera unitária
, utilizando coordenadas esféricas.
Calcule, as seguintes integrais quando possivel:
e)
e)