Calcule
integral duplaS x^2+y^2 d S
se S é a superficie do parabolóide
z=2-(x^2+y^2)
acima do plano X Y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a superfície do paraboloide dado por que está acima do plano . Isso envolve conhecimentos de cálculo multivariável, especialmente integrais de superfície e mudança para coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a integral dupla sobre a superfície integral duplaS f(x, y, z) , dS = integral duplaD f(x, y, z(x, y)) raiz1 + (partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 , dx , dy pode ser transformada em uma integral dupla no plano usando a fórmula:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de partial zpartial x = -2x e partial zpartial y = -2y em relação a e :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na expressão para dS = raiz1 + (-2x)^2 + (-2y)^2 , dx , dy = raiz1 + 4x^2 + 4y^2 , dx , dy :

Passo 5

Assim, a integral original fica:
integral duplaS x^2 + y^2 , dS = integral duplaD (x^2 + y^2) raiz1 + 4x^2 + 4y^2 , dx , dy

Passo 6

Para facilitar o cálculo, vamos mudar para coordenadas polares, onde e . Assim, e o elemento de área .

Passo 7

Substituindo na integral, temos:
integral duplaD r^2 raiz1 + 4r^2 , r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^raiz2 r^3 raiz1 + 4r^2 , dr , dtheta
Aqui, o limite superior vem de , ou seja, .

Passo 8

Vamos resolver a integral interna com relação a integral r^3 raiz1 + 4r^2 , dr = integral r^3 raizu cdot du8r = 18 integral r^2 raizu , du . Fazendo uma substituição 18 integral u - 14 raizu , du = 132 integral (u - 1) u^1/2 , du = 132 integral (u^3/2 - u^1/2) , du , então ou . Contudo, precisamos ajustar os limites e a expressão:
Mas implica . Substituindo:

Passo 9

Integrando termo a termo:
132 ( 25 u^5/2 - 23 u^3/2 ) + C = 132 ( 25 (1 + 4r^2)^5/2 - 23 (1 + 4r^2)^3/2 ) + C
Agora avaliamos de a .

Passo 10

Calculando os limites:
Para 1 + 4(raiz2)^2 = 1 + 4 times 2 = 9 :
1 + 4 times 0 = 1
Para 132 ( 25 (9)^5/2 - 23 (9)^3/2 - ( 25 (1)^5/2 - 23 (1)^3/2 ) ) :
9^5/2 = 243, 9^3/2 = 27, 1^5/2 = 1, 1^3/2 = 1
Substituindo:
132 ( 25 times 243 - 23 times 27 - ( 25 times 1 - 23 times 1 ) ) = 132 ( 4865 - 18 - ( 25 - 23 ) )
Calculando os valores:
132 ( 4865 - 905 - 415 ) = 132 ( 3965 - 415 ) = 132 ( 1188 - 415 ) = 132 times 118415 = 1184480 = 14860 = 3715
Então:
Simplificando:

Passo 11

Agora, voltamos à integral completa com relação a integral0^2pi 3715 , dtheta = 3715 times 2pi = 74pi15 :

Resposta

O valor da integral é .

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