Calcule
se é a superficie do parabolóide
acima do plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a superfície do paraboloide dado por que está acima do plano . Isso envolve conhecimentos de cálculo multivariável, especialmente integrais de superfície e mudança para coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a integral dupla sobre a superfície pode ser transformada em uma integral dupla no plano usando a fórmula:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na expressão para :

Passo 5

Assim, a integral original fica:

Passo 6

Para facilitar o cálculo, vamos mudar para coordenadas polares, onde e . Assim, e o elemento de área .

Passo 7

Substituindo na integral, temos:
Aqui, o limite superior vem de , ou seja, .

Passo 8

Vamos resolver a integral interna com relação a . Fazendo uma substituição , então ou . Contudo, precisamos ajustar os limites e a expressão:
Mas implica . Substituindo:

Passo 9

Integrando termo a termo:
Agora avaliamos de a .

Passo 10

Calculando os limites:
Para :
Para :
Substituindo:
Calculando os valores:
Então:
Simplificando:

Passo 11

Agora, voltamos à integral completa com relação a :

Resposta

O valor da integral é .

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Considere o campo vetorial
Calcule
se é a circunferência .
Calcule o divergente dos campos vetoriais:
.
Calcule
onde é a esfera unitária , utilizando coordenadas esféricas.
Calcule, as seguintes integrais quando possivel:
e)