Considere o campo vetorial
F(x, y, z)=(x^2, e^x y, 2 z^3)
Calcule
ointC nabla times F cdot d r
se C é a circunferência x^2+y^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha do rotacional do campo vetorial ao longo da circunferência definida por . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como rotacional e teorema de Stokes.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o rotacional do campo vetorial nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y ) . O rotacional, ou , mede a tendência de rotação do campo em cada ponto.
A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:
Onde .

Passo 3

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Primeira componente:
    partial F3partial y - partial F2partial z = partial (2z^3)partial y - partial (e^xy)partial z = 0 - 0 = 0
    (Porque partial F1partial z - partial F3partial x = partial (x^2)partial z - partial (2z^3)partial x = 0 - 0 = 0 não depende de partial F2partial x - partial F1partial y = partial (e^xy)partial x - partial (x^2)partial y = y e^xy - 0 = y e^xy e nabla times F = (0, 0, y e^xy) não depende de ).
  2. Segunda componente:
    (Porque não depende de e não depende de ).
  3. Terceira componente:
    (Porque a derivada de em relação a é e não depende de ).
Então, o rotacional fica:

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva ointC nabla times F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot dS com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície que tem como fronteira.
Matematicamente, é:
Escolhemos como o disco unitário no plano , já que é a circunferência .

Passo 5

Vamos calcular a integral de superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot dS
Como (nabla times F) cdot n = y e^xy cdot 1 = y e^xy está no plano integral duplaS y e^xy , dA , o vetor normal é . Então:
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Observando a função integral duplaS y e^xy , dA = 0 , percebemos que ela é uma função ímpar em (porque ao substituir por , a função muda de sinal). Como o domínio de integração é simétrico em relação ao eixo (o disco unitário), a integral de uma função ímpar sobre um domínio simétrico é zero.
Então:

Resposta

ointC nabla times F cdot d r = 0

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