Considere o campo vetorial
Calcule
se é a circunferência .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha do rotacional do campo vetorial ao longo da circunferência definida por . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como rotacional e teorema de Stokes.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o rotacional do campo vetorial . O rotacional, ou , mede a tendência de rotação do campo em cada ponto.
A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:
Onde .

Passo 3

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Primeira componente:
    (Porque não depende de e não depende de ).
  2. Segunda componente:
    (Porque não depende de e não depende de ).
  3. Terceira componente:
    (Porque a derivada de em relação a é e não depende de ).
Então, o rotacional fica:

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície que tem como fronteira.
Matematicamente, é:
Escolhemos como o disco unitário no plano , já que é a circunferência .

Passo 5

Vamos calcular a integral de superfície:
Como está no plano , o vetor normal é . Então:
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Observando a função , percebemos que ela é uma função ímpar em (porque ao substituir por , a função muda de sinal). Como o domínio de integração é simétrico em relação ao eixo (o disco unitário), a integral de uma função ímpar sobre um domínio simétrico é zero.
Então:

Resposta

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Calcule o rotacional dos campos vetoriais:
©
Use o Teorema do Divergente para calcular
onde é a esfera .
Calcule o divergente dos campos vetoriais:
.