Considere o campo vetorial
Calcule
se
é a circunferência
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha do rotacional do campo vetorial
ao longo da circunferência
definida por
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como rotacional e teorema de Stokes.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o rotacional do campo vetorial
. O rotacional, ou
, mede a tendência de rotação do campo em cada ponto.
A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:
Onde
.
Passo 3
Vamos calcular cada componente do rotacional:
-
Primeira componente:(Porque
não depende de e não depende de ). -
Segunda componente:(Porque
não depende de e não depende de ). -
Terceira componente:(Porque a derivada de
em relação a é e não depende de ).
Então, o rotacional fica:
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva
com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície
que tem
como fronteira.
Matematicamente, é:
Escolhemos
como o disco unitário no plano
, já que
é a circunferência
.
Passo 5
Vamos calcular a integral de superfície:
Como
está no plano
, o vetor normal
é
. Então:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Observando a função
, percebemos que ela é uma função ímpar em
(porque ao substituir
por
, a função muda de sinal). Como o domínio de integração é simétrico em relação ao eixo
(o disco unitário), a integral de uma função ímpar sobre um domínio simétrico é zero.
Então:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule o rotacional dos campos vetoriais:
©
Use o Teorema do Divergente para calcular
onde
é a esfera
.
Calcule o divergente dos campos vetoriais:
.