Calcule o divergente do gradiente de
, em que: (b)
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o divergente do gradiente da função
. Basicamente, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente de gradiente e divergente, para resolver isso. Precisamos conhecer como calcular o gradiente de uma função escalar e depois aplicar o operando divergente nesse resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente de
. O gradiente, representado por
, é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a cada variável. Ou seja:
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
Passo 4
Então, o gradiente de
é:
Passo 5
Agora, precisamos calcular o divergente desse gradiente. O divergente de um vetor
é dado por:
No nosso caso,
, então:
Passo 6
Vamos calcular cada derivada separadamente:
- Derivada de
em relação a :
Usando a regra do quociente:
- Derivada de
em relação a :
Aplicando a mesma regra:
Passo 7
Agora, somamos as duas derivadas para obter o divergente:
Resposta
O divergente do gradiente de
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Calcule o divergente dos seguintes campos: (a)
.
Calcule o rotacional dos seguintes campos: ©
.
Dada a transformação
dada por
dada por
e
. Encontre a Jacobiana de
, DF. Se possível, encontre o Jacobiano de DF.
Represente geometricamente o campo vetorial
dado por
.