Calcule o divergente do gradiente de , em que: (b) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o divergente do gradiente da função . Basicamente, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente de gradiente e divergente, para resolver isso. Precisamos conhecer como calcular o gradiente de uma função escalar e depois aplicar o operando divergente nesse resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente de . O gradiente, representado por , é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada variável. Ou seja:

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Então, o gradiente de é:

Passo 5

Agora, precisamos calcular o divergente desse gradiente. O divergente de um vetor é dado por:
No nosso caso, , então:

Passo 6

Vamos calcular cada derivada separadamente:
  1. Derivada de em relação a :
Usando a regra do quociente:
  1. Derivada de em relação a :
Aplicando a mesma regra:

Passo 7

Agora, somamos as duas derivadas para obter o divergente:

Resposta

O divergente do gradiente de é igual a 0.

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