Dada a transformação F dada por (x, y) = F(u, v) dada por x = u + v e y = u - v. Encontre a Jacobiana de F, DF. Se possível, encontre o Jacobiano de DF.

Passo 1

Beleza, você tem uma transformação que pega dois números e e transforma em e . A gente precisa achar a Jacobiana dessa transformação, que é uma matriz que mostra como muda em pequenos movimentos de e . Depois disso, se der, a gente também vê a Jacobiana dessa Jacobiana, que é tipo a segunda camada de transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Jacobiana. Para uma função que vai de para , a Jacobiana é uma matriz 2x2 onde cada elemento é a derivada parcial de uma das saídas ( ou ) em relação a uma das entradas ( ou ). Então, vamos calcular essas derivadas.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 4

Agora, montamos a matriz Jacobiana com esses valores:

Passo 5

Agora, vamos tentar encontrar a Jacobiana de . Isso significa calcular como cada elemento de muda em relação a e . Porém, olha só que legal: na nossa matriz , todos os elementos são constantes, ou seja, não dependem de nem de .

Passo 6

Quando os elementos da Jacobiana não dependem das variáveis, as derivadas parciais serão zero. Então, a Jacobiana de será uma matriz de zeros.

Resposta

A Jacobiana de é:
E a Jacobiana de é a matriz zero:

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