Calcule o rotacional dos seguintes campos: © .

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para calcular o rotacional do campo vetorial . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o rotacional (ou curl), que nos ajuda a entender a rotação de um campo em cada ponto do espaço. Para resolver isso, vamos precisar da definição do rotacional utilizando determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional de um campo vetorial . A fórmula do rotacional é dada pelo determinante de uma matriz 3x3:
Isso significa que vamos calcular três componentes—uma para cada direção dos eixos coordenados.

Passo 3

Agora, vamos identificar os componentes do campo :
Em seguida, calculamos as derivadas parciais necessárias:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do determinante:
Substituindo os valores calculados:

Resposta

O rotacional do campo é o vetor nulo:

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Seja , onde . (a) Desenhe o campo
um tanque de volume dado contém uma mistura de água e sal onde a quantidade inicial de sal é . Água salgada com concentração constante de sal por litro de água está entrando no tanque a uma taxa constante de litros por minuto, a medida que este despeja a mesma quantidade de água pela mangueira de saída, mantendo o volume constante. Descreva o problema de valor inicial deste fluxo, encontrando uma express ao para a quantidade de sal na água por minuto, em função dos dados iniciais e do tempo.
Calcule o divergente dos seguintes campos: (a) .
Calcule o divergente do gradiente de , em que: (b) .