Calcule o divergente do gradiente de
, em que: (a)
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular o divergente do gradiente da função
. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Vetorial, especificamente utilizando os conceitos de gradiente e divergente. Para resolver, precisamos entender como calcular o gradiente de uma função escalar e depois aplicar o operador divergente nesse resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente de
. O gradiente de uma função escalar é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada uma das suas variáveis. Ou seja,
Para
:
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos calcular o divergente do gradiente que acabamos de encontrar. O divergente de um campo vetorial
é dado por:
Aplicando isso ao nosso gradiente
:
Calculando as derivadas parciais:
Resposta
Portanto, o divergente do gradiente de
é:
Exercícios relacionados
Seja
. Calcule div
.
Calcule o rotacional dos seguintes campos: (b)
.
Um cone é feito de uma folha circular de raio
, cortando um setor e colando as bordas cortadas da peça restante. Qual é o volume máximo atingível para o cone?
Use que o volume de um cone é (raio)
(altura).
Use que o volume de um cone é
Um campo vetorial
é dado por
. Verifique se
é um campo conservativo. Justifique sua resposta!