Calcule o divergente do gradiente de , em que: (a) .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular o divergente do gradiente da função . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Vetorial, especificamente utilizando os conceitos de gradiente e divergente. Para resolver, precisamos entender como calcular o gradiente de uma função escalar e depois aplicar o operador divergente nesse resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente de . O gradiente de uma função escalar é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada uma das suas variáveis. Ou seja,
Para :
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos calcular o divergente do gradiente que acabamos de encontrar. O divergente de um campo vetorial é dado por:
Aplicando isso ao nosso gradiente :
Calculando as derivadas parciais:

Resposta

Portanto, o divergente do gradiente de é:

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Seja . Calcule div .
Calcule o rotacional dos seguintes campos: (b) .
Um cone é feito de uma folha circular de raio , cortando um setor e colando as bordas cortadas da peça restante. Qual é o volume máximo atingível para o cone?
Use que o volume de um cone é (raio) (altura).
Um campo vetorial é dado por . Verifique se é um campo conservativo. Justifique sua resposta!