Seja F(x, y, z) = (x^2 + z) i - y^2 j + (2x + 3y + z^2) k. Calcule div F.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial e precisamos calcular a divergência desse campo. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente o conceito de divergência. Para isso, vamos usar a fórmula da divergência que envolve derivadas parciais das componentes do vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência. A divergência de um campo vetorial é dada por:
Isso significa que a gente precisa calcular a derivada parcial de cada componente de em relação à sua própria variável.

Passo 3

Vamos identificar as componentes de :
Agora, vamos calcular as derivadas parciais.

Passo 4

Calculando :
Aqui, a derivada de em relação a é e a derivada de em relação a é 0 porque é tratado como uma constante.

Passo 5

Calculando :
A derivada de em relação a é .

Passo 6

Calculando :
Aqui, as derivadas de e em relação a são 0, e a derivada de é .

Passo 7

Agora, vamos somar todas essas derivadas para encontrar a divergência:

Resposta

A divergência do campo vetorial é .

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