Seja
. Calcule div
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial
e precisamos calcular a divergência desse campo. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente o conceito de divergência. Para isso, vamos usar a fórmula da divergência que envolve derivadas parciais das componentes do vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Isso significa que a gente precisa calcular a derivada parcial de cada componente de
em relação à sua própria variável.
Passo 3
Vamos identificar as componentes de
:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais.
Passo 4
Calculando
:
Aqui, a derivada de
em relação a
é
e a derivada de
em relação a
é 0 porque
é tratado como uma constante.
Passo 5
Calculando
:
A derivada de
em relação a
é
.
Passo 6
Calculando
:
Aqui, as derivadas de
e
em relação a
são 0, e a derivada de
é
.
Passo 7
Agora, vamos somar todas essas derivadas para encontrar a divergência:
Resposta
A divergência do campo vetorial
é
.
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.
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.
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, em que: (a)
.
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, cortando um setor e colando as bordas cortadas da peça restante. Qual é o volume máximo atingível para o cone?
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(altura).
Use que o volume de um cone é