Calcule o rotacional dos seguintes campos: (b) .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o rotacional do campo vetorial . O rotacional é um conceito da matéria de cálculo vetorial que nos ajuda a entender como um campo está “girando” em cada ponto. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do rotacional, que envolve derivadas parciais das componentes do campo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição do rotacional. O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Isso significa que vamos calcular o determinante dessa matriz para encontrar cada componente do rotacional.

Passo 3

Vamos identificar as componentes do nosso campo . Temos:
Agora, vamos montar a matriz para calcular o rotacional:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante. Lembrando que:
Vamos calcular cada derivada parcial:
  • (pois não depende de )

Passo 5

Substituindo as derivadas na expressão do rotacional:

Resposta

O rotacional do campo vetorial é:

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Calcule o divergente dos seguintes campos: (b) .
Calcule o divergente dos seguintes campos: (d) .
Seja . Calcule div .
Calcule o divergente do gradiente de , em que: (a) .