Um cone é feito de uma folha circular de raio
, cortando um setor e colando as bordas cortadas da peça restante. Qual é o volume máximo atingível para o cone?
Use que o volume de um cone é
(raio)
(altura).
Use que o volume de um cone é
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos uma folha circular de raio
e queremos transformá-la em um cone. Para isso, cortamos um setor (uma “pizza” da folha) e colamos as bordas cortadas para formar o cone. Nosso objetivo é descobrir qual é o volume máximo que podemos obter com esse cone. Vamos precisar usar conhecimentos de geometria sobre cones e setores circulares, além de aplicar conceitos de otimização para encontrar o volume máximo.
Passo 2
Vamos entender como o setor cortado se relaciona com o cone formado. Quando cortamos um setor e colamos as bordas, o comprimento da circunferência da base do cone será igual ao comprimento da borda do setor restante. A circunferência de um círculo é dada por
. Se cortarmos um setor de ângulo
, o comprimento da circunferência do setor cortado é
. Portanto, a circunferência da base do cone será:
Onde
é o raio da base do cone.
Passo 3
Podemos resolver a equação acima para encontrar
em termos de
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a altura
do cone. Quando formamos o cone, a altura, o raio da base e o raio original da folha
formam um triângulo retângulo. Aplicando o Teorema de Pitágoras:
Passo 5
Sabemos que o volume do cone é dado por:
Substituindo
pela expressão encontrada:
Passo 6
Para encontrar o volume máximo, precisamos maximizar a função
. Vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Simplificando a derivada:
Ignorando a solução trivial
, temos:
Passo 7
Agora que encontramos o valor de
que maximiza o volume, podemos encontrar a altura correspondente:
Resposta
O volume máximo atingível para o cone é:
Simplificando, temos: