Um cone é feito de uma folha circular de raio , cortando um setor e colando as bordas cortadas da peça restante. Qual é o volume máximo atingível para o cone?
Use que o volume de um cone é (raio) (altura).
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos uma folha circular de raio e queremos transformá-la em um cone. Para isso, cortamos um setor (uma “pizza” da folha) e colamos as bordas cortadas para formar o cone. Nosso objetivo é descobrir qual é o volume máximo que podemos obter com esse cone. Vamos precisar usar conhecimentos de geometria sobre cones e setores circulares, além de aplicar conceitos de otimização para encontrar o volume máximo.
Passo 2
Vamos entender como o setor cortado se relaciona com o cone formado. Quando cortamos um setor e colamos as bordas, o comprimento da circunferência da base do cone será igual ao comprimento da borda do setor restante. A circunferência de um círculo é dada por . Se cortarmos um setor de ângulo , o comprimento da circunferência do setor cortado é . Portanto, a circunferência da base do cone será:
Onde é o raio da base do cone.
Passo 3
Podemos resolver a equação acima para encontrar em termos de :
Passo 4
Agora, vamos encontrar a altura do cone. Quando formamos o cone, a altura, o raio da base e o raio original da folha formam um triângulo retângulo. Aplicando o Teorema de Pitágoras:
Passo 5
Sabemos que o volume do cone é dado por:
Substituindo pela expressão encontrada:
Passo 6
Para encontrar o volume máximo, precisamos maximizar a função . Vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero:
Simplificando a derivada:
Ignorando a solução trivial , temos:
Passo 7
Agora que encontramos o valor de que maximiza o volume, podemos encontrar a altura correspondente: