Calcule divergênte e rotacional do campo vetorial
em coordenadas Cartesianas e cilindricas, onde
é uma coordenada radial cilindrica,
e
é um vetor constante arbitrario.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a divergente e o rotacional do campo vetorial dado por
Vamos fazer isso tanto em coordenadas Cartesianas quanto em coordenadas Cilíndricas. Pra isso, vamos lembrar das definições de divergente e rotacional, e como aplicá-las em cada sistema de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é divergente e rotacional. A divergente de um campo vetorial nos diz como o campo “espalha” de um ponto, enquanto o rotacional nos mostra a tendência do campo de “girar” em torno de um ponto.
Vamos começar calculando a divergente e o rotacional em coordenadas Cilíndricas, já que o campo
está dado nessa forma.
Passo 3
Nas coordenadas Cilíndricas
, o campo vetorial
é dado por
Aqui,
é o vetor unitário na direção radial. A função
depende do produto escalar
.
Passo 4
Vamos calcular a divergente em coordenadas Cilíndricas. A fórmula para a divergente é
No nosso caso,
e
, então a fórmula simplifica para
Passo 5
Substituindo
, temos
Precisamos derivar essa expressão em relação a
.
Passo 6
Aplicando a regra do produto, temos
Então,
Passo 7
Agora, vamos calcular o rotacional em coordenadas Cilíndricas. A fórmula para o rotacional é
No nosso caso,
e
, então a expressão simplifica para
Passo 8
Substituindo
, temos
Precisamos calcular a derivada de
em relação a
.
Passo 9
Aplicando a regra da cadeia, temos
Sabemos que
, então
A derivada em relação a
é
Então,
Resposta
Em coordenadas Cilíndricas, a divergente de
é
e o rotacional de
é