Calcule divergênte e rotacional do campo vetorial
F=f(r cdot a) rho
em coordenadas Cartesianas e cilindricas, onde rho= raizx^2+y^2 é uma coordenada radial cilindrica, r=rho+z z e a é um vetor constante arbitrario.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a divergente e o rotacional do campo vetorial dado por
F = f(r cdot a) rho
Vamos fazer isso tanto em coordenadas Cartesianas quanto em coordenadas Cilíndricas. Pra isso, vamos lembrar das definições de divergente e rotacional, e como aplicá-las em cada sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é divergente e rotacional. A divergente de um campo vetorial nos diz como o campo “espalha” de um ponto, enquanto o rotacional nos mostra a tendência do campo de “girar” em torno de um ponto.
Vamos começar calculando a divergente e o rotacional em coordenadas Cilíndricas, já que o campo F está dado nessa forma.

Passo 3

Nas coordenadas Cilíndricas (rho, phi, z), o campo vetorial F é dado por
F = f(r cdot a) rho
Aqui, rho é o vetor unitário na direção radial. A função f depende do produto escalar r cdot a.

Passo 4

Vamos calcular a divergente em coordenadas Cilíndricas. A fórmula para a divergente é
nabla cdot F = 1rho partial (rho Frho)partial rho + 1rho partial Fphipartial phi + partial Fzpartial z
No nosso caso, Fphi = 0 e Fz = 0, então a fórmula simplifica para
nabla cdot F = 1rho partial (rho Frho)partial rho

Passo 5

Substituindo Frho = f(r cdot a), temos
nabla cdot F = 1rho partialpartial rho ( rho f(r cdot a) )
Precisamos derivar essa expressão em relação a rho.

Passo 6

Aplicando a regra do produto, temos
partialpartial rho ( rho f(r cdot a) ) = f(r cdot a) + rho partial fpartial rho (r cdot a)
Então,
nabla cdot F = 1rho [ f(r cdot a) + rho partial fpartial rho (r cdot a) ] = f(r cdot a)rho + partial fpartial rho (r cdot a)

Passo 7

Agora, vamos calcular o rotacional em coordenadas Cilíndricas. A fórmula para o rotacional é
nabla times F = ( 1rho partial Fzpartial phi - partial Fphipartial z ) rho + ( partial Frhopartial z - partial Fzpartial rho ) phi + 1rho ( partial (rho Fphi)partial rho - partial Frhopartial phi ) z
No nosso caso, Fphi = 0 e Fz = 0, então a expressão simplifica para
nabla times F = partial Frhopartial z phi

Passo 8

Substituindo Frho = f(r cdot a), temos
nabla times F = partialpartial z f(r cdot a) phi
Precisamos calcular a derivada de f em relação a z.

Passo 9

Aplicando a regra da cadeia, temos
partialpartial z f(r cdot a) = f'(r cdot a) partialpartial z (r cdot a)
Sabemos que r = rho + z z, então
r cdot a = rho arho cos phi + z az
A derivada em relação a z é
partialpartial z (r cdot a) = az
Então,
nabla times F = f'(r cdot a) az phi

Resposta

Em coordenadas Cilíndricas, a divergente de F é
nabla cdot F = f(r cdot a)rho + partial fpartial rho (r cdot a)
e o rotacional de F é
nabla times F = f'(r cdot a) az phi

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