A posição de uma partícula é descrita pela função r(t)=10 i+4 t j-t^2 k (em metros).
Determine:
3. A velocidade instantânea da partícula em t=2 segundos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a velocidade instantânea de uma partícula no momento em que $ t = 2 $ segundos. A posição da partícula está descrita pela função vetorial $ r(t) = 10,i + 4t,j - t^{2},k $. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de cinemática, especificamente utilizando o cálculo das derivadas para achar a velocidade a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se $ r(t) $ é a posição da partícula, então a velocidade $ v(t) $ é dada por:
r(t)

Passo 3

Agora, vamos calcular essa derivada para cada componente do vetor posição $ r(t) $.
Dada:
r(t)
Derivando cada termo em relação a $ t $:
  • A derivada de $ 10,i $ é $ 0,i $, porque é uma constante.
  • A derivada de $ 4t,j $ é $ 4,j $, já que a derivada de $ t $ é 1.
  • A derivada de $ -t^{2},k $ é $ -2t,k $, usando a regra do poder.
Então, a velocidade $ v(t) $ fica:
r(t) = 10,i + 4t,j - t^2,k

Passo 4

Agora que temos a expressão para a velocidade em função do tempo, vamos substituir $ t = 2 $ segundos para encontrar a velocidade instantânea nesse momento.
Substituindo:
t = 2

Resposta

A velocidade instantânea da partícula em $ t = 2 $ segundos é:
t = 2

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