Calcule divergênte e rotacional do campo vetorial
F=f(r) r
em coordenadas Cartesianas e esfericas, onde r= raizx^2+y^2+z^2 e f(r) é uma função arbitrara da coordenada radial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a divergente e o rotacional do campo vetorial F = f(r) r, onde r = raizx^2+y^2+z^2 e f(r) é uma função qualquer de r. Vamos fazer isso em coordenadas Cartesianas e esféricas. Para isso, vamos usar as fórmulas de divergente e rotacional em cada sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver em coordenadas Cartesianas. Em coordenadas Cartesianas, o vetor r pode ser expresso como rr, onde r = xi + yj + zk. Então, nosso campo fica:
F = f(r) xi + yj + zkr = f(r)xri + f(r)yrj + f(r)zrk

Passo 3

Vamos calcular a divergente em coordenadas Cartesianas. A fórmula da divergente é:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Onde Fx = f(r)xr, Fy = f(r)yr e Fz = f(r)zr.

Passo 4

Calculando cada derivada parcial:
partial Fxpartial x = partialpartial x(f(r)xr) = f'(r)xr cdot xr + f(r)(1r - x^2r^3)
Fazendo o mesmo para Fy e Fz e somando, obtemos:
nabla cdot F = f'(r) rr + f(r) 3r - f(r) rr^3 = f'(r) + 2f(r)r

Passo 5

Agora, vamos calcular o rotacional em coordenadas Cartesianas. A fórmula do rotacional é:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Calculando cada termo, percebemos que todas as diferenças são iguais a zero, já que as derivadas se anulam mutuamente.

Passo 6

Portanto, em coordenadas Cartesianas:
boxed nabla cdot F &= f'(r) + 2f(r)r nabla times F &= 0

Passo 7

Agora, vamos resolver em coordenadas Esféricas. Em coordenadas esféricas, o campo F = f(r) r já está na forma adequada. As fórmulas da divergente e do rotacional em coordenadas esféricas são mais diretas.

Passo 8

A fórmula da divergente em coordenadas esféricas para um campo F = Fr r + Ftheta theta + Fphi phi é:
nabla cdot F = 1r^2partialpartial r(r^2 Fr) + 1r sin thetapartialpartial theta(Ftheta sin theta) + 1r sin thetapartial Fphipartial phi
No nosso caso, Ftheta = Fphi = 0, então:
nabla cdot F = 1r^2partialpartial r(r^2 f(r)) = 1r^2(2r f(r) + r^2 f'(r)) = 2f(r)r + f'(r)

Passo 9

A fórmula do rotacional em coordenadas esféricas é:
nabla times F = 1r sin theta [ partialpartial theta(Fphi sin theta) - partial Fthetapartial phi ] r + 1r [ 1sin theta partial Frpartial phi - partialpartial r(r Fphi) ] theta + 1r [ partialpartial r(r Ftheta) - partial Frpartial theta ] phi
Como Ftheta = Fphi = 0 e Fr = f(r), todas as derivadas envolvidas serão zero.

Passo 10

Portanto, em coordenadas Esféricas:
boxed nabla cdot F &= f'(r) + 2f(r)r nabla times F &= 0

Resposta

Tanto em coordenadas Cartesianas quanto Esféricas, a divergente de F é f'(r) + 2f(r)r e o rotacional de F é o vetor nulo. Portanto,
boxed nabla cdot F &= f'(r) + 2f(r)r nabla times F &= 0

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