Calcule divergênte e rotacional do campo vetorial
em coordenadas Cartesianas e esfericas, onde
é uma função arbitrara da coordenada radial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a divergente e o rotacional do campo vetorial
, onde
e
é uma função qualquer de
. Vamos fazer isso em coordenadas Cartesianas e esféricas. Para isso, vamos usar as fórmulas de divergente e rotacional em cada sistema de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver em coordenadas Cartesianas. Em coordenadas Cartesianas, o vetor
pode ser expresso como
, onde
. Então, nosso campo fica:
Passo 3
Vamos calcular a divergente em coordenadas Cartesianas. A fórmula da divergente é:
Onde
,
e
.
Passo 4
Calculando cada derivada parcial:
Fazendo o mesmo para
e
e somando, obtemos:
Passo 5
Agora, vamos calcular o rotacional em coordenadas Cartesianas. A fórmula do rotacional é:
Calculando cada termo, percebemos que todas as diferenças são iguais a zero, já que as derivadas se anulam mutuamente.
Passo 6
Portanto, em coordenadas Cartesianas:
Passo 7
Agora, vamos resolver em coordenadas Esféricas. Em coordenadas esféricas, o campo
já está na forma adequada. As fórmulas da divergente e do rotacional em coordenadas esféricas são mais diretas.
Passo 8
A fórmula da divergente em coordenadas esféricas para um campo
é:
No nosso caso,
, então:
Passo 9
A fórmula do rotacional em coordenadas esféricas é:
Como
e
, todas as derivadas envolvidas serão zero.
Passo 10
Portanto, em coordenadas Esféricas:
Resposta
Tanto em coordenadas Cartesianas quanto Esféricas, a divergente de
é
e o rotacional de
é o vetor nulo. Portanto,