A posição de uma partícula é descrita pela função r(t)=10 i+4 t j-t^2 k (em metros).
Determine:
2. A velocidade média da partícula entre t=1 e t=3 segundos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a posição de uma partícula em função do tempo: $ r(t) = 10,\mathbf{i} + 4t,\mathbf{j} - t^{2},\mathbf{k} $ (em metros). Nosso objetivo aqui é encontrar a velocidade média dessa partícula entre os instantes $ t = 1 $ e $ t = 3 $ segundos. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores de posição e como calcular a velocidade média usando mudanças na posição ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade média é calculada dividindo a variação da posição pela variação do tempo. Matematicamente, isso é representado por:
Velocidade Média = Deé
onde $ \Delta \mathbf{r} $ é a mudança na posição e $ \Delta t $ é a mudança no tempo.

Passo 3

Vamos calcular a posição da partícula nos instantes $ t = 1 $ e $ t = 3 $ usando a função dada $ r(t) $.
Para $ t = 1 $:
t = 1
Para $ t = 3 $:
t = 3

Passo 4

Agora, vamos encontrar a variação da posição $ \Delta \mathbf{r} $ subtraindo as posições nos dois instantes:
De
De
De

Passo 5

A variação do tempo $ \Delta t $ é simplesmente:
De

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da velocidade média:
Velocidade Média = Deé
Velocidade Média = 0,i + 4,j - 4,k é

Resposta

A velocidade média da partícula entre $ t = 1 $ e $ t = 3 $ segundos é $ \mathbf{v}_{média} = 0,\mathbf{i} + 4,\mathbf{j} - 4,\mathbf{k} $ metros por segundo.

Exercícios relacionados