Uma casca esférica fina de raio R possui densidade da carga superficial sigma0= const. Calcule o potencial elétrico fora e dentro da casca.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma casca esférica fina com raio $ R $ e densidade de carga superficial constante $ \sigma_{0} $. A gente precisa calcular o potencial elétrico em dois lugares: fora da casca e dentro dela. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss e a relação entre campo elétrico e potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Campo Elétrico usando a Lei de Gauss. A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo $ \varepsilon_{0} $:
varepsilon0
Como estamos lidando com uma casca esférica, vamos considerar duas regiões: fora da casca ($ r > R oint E cdot dA = Qdentrovarepsilon0 r < R $).

Passo 3

Para $ r > R $: Nesse caso, toda a carga da casca está dentro da superfície gaussiana. A carga total $ Q $ na casca é:
r > R
Aplicando a Lei de Gauss:
Q
Para $ r < R $: Aqui, não há carga dentro da superfície gaussiana (porque toda a carga está na casca de raio $ R $). Então:
Q = sigma0 times 4pi R^2

Passo 4

Agora que temos o Campo Elétrico, vamos calcular o Potencial Elétrico. A relação entre campo e potencial é:
E = -nabla V implies V(b) - V(a) = -integrala^b E cdot dr
Vamos escolher $ V(\infty) = 0 $ como referência.
Para $ r > R $:
V(infty) = 0
Para $ r < R $:
Como o campo é zero dentro da casca, o potencial é constante e igual ao potencial na superfície $ r = R $:
r > R

Resposta

O potencial elétrico para uma casca esférica fina de raio $ R $ e densidade de carga superficial $ \sigma_{0} $ é:
R

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