Uma casca esférica fina de raio
possui densidade da carga superficial
const. Calcule o potencial elétrico fora e dentro da casca.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma casca esférica fina com raio $ R $ e densidade de carga superficial constante $ \sigma_{0} $. A gente precisa calcular o potencial elétrico em dois lugares: fora da casca e dentro dela. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss e a relação entre campo elétrico e potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Campo Elétrico usando a Lei de Gauss. A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo $ \varepsilon_{0} $:
Como estamos lidando com uma casca esférica, vamos considerar duas regiões: fora da casca ($ r > R
r < R $).
Passo 3
Para $ r > R $: Nesse caso, toda a carga da casca está dentro da superfície gaussiana. A carga total $ Q $ na casca é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Para $ r < R $: Aqui, não há carga dentro da superfície gaussiana (porque toda a carga está na casca de raio $ R $). Então:
Passo 4
Agora que temos o Campo Elétrico, vamos calcular o Potencial Elétrico. A relação entre campo e potencial é:
Vamos escolher $ V(\infty) = 0 $ como referência.
Para $ r > R $:
Para $ r < R $:
Como o campo é zero dentro da casca, o potencial é constante e igual ao potencial na superfície $ r = R $:
Como o campo é zero dentro da casca, o potencial é constante e igual ao potencial na superfície $ r = R $:
Resposta
O potencial elétrico para uma casca esférica fina de raio $ R $ e densidade de carga superficial $ \sigma_{0} $ é: