Calcule o potencial elétrico em todo espaço de um cilíndro infinito fino de raio
que possui a densidade superfícial de carga elétrica
const assumindo que em distancis
, sendo
a cordenada radial cilíndrica, o potencial
.
Passo 1
Vamos lá! A gente precisa calcular o potencial elétrico em todo o espaço ao redor de um cilindro infinito bem fininho, de raio
, que tem uma densidade superficial de carga elétrica constante, chamada
. Além disso, sabemos que o potencial em uma distância
maior que
(
) é zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática como potencial elétrico, simetria cilíndrica e integração em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, é bom lembrar que o potencial elétrico
devido a uma distribuição de carga é encontrado integrando a contribuição de cada pedacinho de carga. Como o cilindro é infinito e a carga está distribuída só na superfície, a gente pode usar a simetria cilíndrica para simplificar. Vamos usar coordenadas cilíndricas
onde
é a distância radial do eixo do cilindro.
A fórmula geral pra potencial elétrico de uma superfície carregada é:
Mas, por causa da simetria, a gente consegue simplificar essa expressão.
Passo 3
Para um cilindro infinito, o potencial depende só da distância radial
. Usando a simetria cilíndrica, sabemos que o potencial a uma distância
do eixo é dado por:
Aqui,
é a densidade linear de carga. Como o cilindro é bem fininho, podemos relacionar
com a densidade superficial
assim:
.
Passo 4
Agora, vamos substituir
na equação do potencial:
Resposta
O potencial elétrico em todo o espaço é: