Calcule o potencial elétrico em todo espaço de um cilíndro infinito fino de raio R que possui a densidade superfícial de carga elétrica sigma0= const assumindo que em distancis r= r0>R, sendo r a cordenada radial cilíndrica, o potencial V(r0)=0.

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa calcular o potencial elétrico em todo o espaço ao redor de um cilindro infinito bem fininho, de raio R, que tem uma densidade superficial de carga elétrica constante, chamada sigma0. Além disso, sabemos que o potencial em uma distância r0 maior que R ( r0 > R) é zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática como potencial elétrico, simetria cilíndrica e integração em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, é bom lembrar que o potencial elétrico V devido a uma distribuição de carga é encontrado integrando a contribuição de cada pedacinho de carga. Como o cilindro é infinito e a carga está distribuída só na superfície, a gente pode usar a simetria cilíndrica para simplificar. Vamos usar coordenadas cilíndricas (r, phi, z) onde r é a distância radial do eixo do cilindro.
A fórmula geral pra potencial elétrico de uma superfície carregada é:
V(r) = 14pivarepsilon0 integral sigma|r - r'| , dA'
Mas, por causa da simetria, a gente consegue simplificar essa expressão.

Passo 3

Para um cilindro infinito, o potencial depende só da distância radial r. Usando a simetria cilíndrica, sabemos que o potencial a uma distância r do eixo é dado por:
V(r) = lambda2pivarepsilon0 ln(rr0)
Aqui, lambda é a densidade linear de carga. Como o cilindro é bem fininho, podemos relacionar lambda com a densidade superficial sigma0 assim: lambda = sigma0 cdot 2pi R.

Passo 4

Agora, vamos substituir lambda na equação do potencial:
V(r) = sigma0 cdot 2pi R2pivarepsilon0 ln(rr0) = sigma0 Rvarepsilon0 ln(rr0)

Resposta

O potencial elétrico em todo o espaço é:
V(r) = sigma0 Rvarepsilon0 ln(rr0)

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