Calcule o divergente e o rotacional do campo vetorial F: R^3 -> R^3 dado por F(x, y, z) = x * y^2 * i + y * z^2 * j + z * x^2 * k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o divergente e o rotacional de um campo vetorial específico. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Vetorial, onde estudamos como analisar propriedades de campos em três dimensões. Para resolver, vamos precisar saber como calcular o divergente e o rotacional de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente do campo vetorial . O divergente de um campo vetorial é dado por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Somando tudo:

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional do mesmo campo vetorial F. O rotacional é dado por:
Vamos calcular cada termo:
  1. Componente i:
    • (já que não há y)
    • Resultado:
  2. Componente j:
    • (não há z)
    • Resultado:
  3. Componente k:
    • (não há x)
    • Resultado:
Juntando tudo, o rotacional fica:

Resposta

O divergente do campo vetorial é:
E o rotacional do campo vetorial é:

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