Calcule o potencial gravitacional devido a uma barra fina de comprimento l e massa M a uma distância R do centro da barra e a uma direção perpendicular a ela. Para ajudar no seu cálculo, use: integral d xraizx^2+a^2=ln (x+raizx^2+a^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra calcular o potencial gravitacional gerado por uma barra fininha de comprimento e massa . Essa barra está a uma distância do seu centro e na direção perpendicular a ela. Para resolver isso, a gente vai usar conceitos de potencial gravitacional e integrais. Além disso, vamos precisar da fórmula que foi dada no enunciado para facilitar nossa conta.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o potencial gravitacional V = -G integral dmr devido a uma massa é dado pela fórmula:
Aqui, é a constante gravitacional, é um elemento de massa da barra, e é a distância desse elemento ao ponto onde estamos calculando o potencial (no caso, a distância ).

Passo 3

Vamos saber expressar lambda = Ml em termos do comprimento da barra. Como a barra tem massa total dm = lambda dx = Ml dx e comprimento , a densidade linear de massa é:
Então, um elemento de massa em um pequeno pedaço da barra é:

Passo 4

Agora, vamos montar a integral do potencial. Cada elemento r = raizx^2 + R^2 está a uma distância V = -G integral-l/2^l/2 Ml dxraizx^2 + R^2 do ponto onde estamos calculando o potencial. Pela geometria, temos:
onde é a posição ao longo da barra, que varia de a .
Então, substituindo na integral:

Passo 5

Agora, usamos a fórmula dada no enunciado para resolver a integral:
integral dxraizx^2 + a^2 = ln(x + raizx^2 + a^2) + C
Aplicando isso na nossa integral:
V = -G Ml [ ln(x + raizx^2 + R^2) ]-l/2^l/2
Calculando os limites:
V = -G Ml [ ln(l2 + raiz(l2)^2 + R^2) - ln(-l2 + raiz(l2)^2 + R^2) ]
Simplificando as diferenças de logaritmos:
V = -G Ml ln( l2 + raiz(l2)^2 + R^2-l2 + raiz(l2)^2 + R^2 )

Resposta

O potencial gravitacional V = -G Ml ln( l2 + raiz(l2)^2 + R^2-l2 + raiz(l2)^2 + R^2 ) devido à barra é:

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