Calcule o potencial gravitacional devido a uma barra fina de comprimento e massa a uma distância do centro da barra e a uma direção perpendicular a ela. Para ajudar no seu cálculo, use: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra calcular o potencial gravitacional gerado por uma barra fininha de comprimento e massa . Essa barra está a uma distância do seu centro e na direção perpendicular a ela. Para resolver isso, a gente vai usar conceitos de potencial gravitacional e integrais. Além disso, vamos precisar da fórmula que foi dada no enunciado para facilitar nossa conta.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o potencial gravitacional devido a uma massa é dado pela fórmula:
Aqui, é a constante gravitacional, é um elemento de massa da barra, e é a distância desse elemento ao ponto onde estamos calculando o potencial (no caso, a distância ).
Passo 3
Vamos saber expressar em termos do comprimento da barra. Como a barra tem massa total e comprimento , a densidade linear de massa é:
Então, um elemento de massa em um pequeno pedaço da barra é:
Passo 4
Agora, vamos montar a integral do potencial. Cada elemento está a uma distância do ponto onde estamos calculando o potencial. Pela geometria, temos:
onde é a posição ao longo da barra, que varia de a .
Então, substituindo na integral:
Passo 5
Agora, usamos a fórmula dada no enunciado para resolver a integral:
Aplicando isso na nossa integral:
Calculando os limites:
Simplificando as diferenças de logaritmos:
V = -G Ml ln( l2 + raiz(l2)^2 + R^2-l2 + raiz(l2)^2 + R^2 )
Resposta
O potencial gravitacional V = -G Ml ln( l2 + raiz(l2)^2 + R^2-l2 + raiz(l2)^2 + R^2 ) devido à barra é: