Calcule a integral integralC f(x, y, z) d s, em que f(x, y, z)=x-3 y^2+z e C é o segmento de reta que vai do ponto (1,0,-2) ao ponto (4,1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha da função ao longo do segmento de reta que vai do ponto até o ponto . Vamos usar conhecimentos de cálculo integral e parametrização de curvas para fazer isso.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta r(t) = P0 + t(P1 - P0) . Para isso, escolhemos um parâmetro, geralmente r(t) = (1, 0, -2) + t[(4, 1, 2) - (1, 0, -2)] = (1 + 3t, 0 + t, -2 + 4t) , que varia de 0 a 1. A parametrização de uma reta que liga dois pontos x(t) = 1 + 3t, y(t) = t, z(t) = -2 + 4t, com t in [0, 1] e é dada por:
Aplicando isso aos nossos pontos:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos substituir f(x(t), y(t), z(t)) = (1 + 3t) - 3(t)^2 + (-2 + 4t) = 1 + 3t - 3t^2 - 2 + 4t = 7t - 3t^2 -1 , e na função :

Passo 4

Precisamos calcular ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , dt , que é o elemento de comprimento da curva. Para uma parametrização dxdt = 3, dydt = 1, dzdt = 4 , temos:
ds = raiz3^2 + 1^2 + 4^2 , dt = raiz9 + 1 + 16 , dt = raiz26 , dt
Calculando as derivadas:
Então:

Passo 5

Agora, montamos a integral substituindo integralC f(x, y, z) , ds = integral0^1 (7t - 3t^2 -1) cdot raiz26 , dt = raiz26 integral0^1 (7t - 3t^2 -1) , dt e integral (7t - 3t^2 -1) , dt = 72t^2 - t^3 - t + C :
[72(1)^2 - (1)^3 - (1)] - [72(0)^2 - (0)^3 - (0)] = 72 - 1 -1 = 52
Vamos integrar termo a termo:
raiz26 cdot 52 = 5raiz262
Avaliando de 0 a 1:
Multiplicando pela :

Resposta

A integral vale .

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