Calcule a integral
, em que
e
é o segmento de reta que vai do ponto
ao ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha da função
ao longo do segmento de reta
que vai do ponto
até o ponto
. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral e parametrização de curvas para fazer isso.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a reta
. Para isso, escolhemos um parâmetro, geralmente
, que varia de 0 a 1. A parametrização de uma reta que liga dois pontos
e
é dada por:
Aplicando isso aos nossos pontos:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
e
na função
:
Passo 4
Precisamos calcular
, que é o elemento de comprimento da curva. Para uma parametrização
, temos:
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 5
Agora, montamos a integral substituindo
e
:
Vamos integrar termo a termo:
Avaliando de 0 a 1:
Multiplicando pela
:
Resposta
A integral vale
.