Determine o trabalho realizado pelo campo de força
quando um objeto é movido de um ponto
a um ponto
. (Aqui é necessário verificar que é conservativo e obter sua função potencial.)
Passo 1
Então, temos um exercício onde precisamos descobrir o trabalho realizado por um campo de força dado por
quando um objeto se move do ponto
até o ponto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campos conservativos e funções potenciais, que fazem parte da matéria de cálculo vetorial. Vamos precisar verificar se o campo é conservativo e, se for, encontrar sua função potencial para calcular o trabalho realizado.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo de força
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se sua rotacional for zero. No caso de um campo bidimensional
, a condição para ser conservativo é:
Vamos calcular essas derivadas parciais para o nosso campo.
Passo 3
Identificando
e
, vamos calcular as derivadas:
Substituindo na condição:
Como a diferença é zero, o campo
é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que o campo é conservativo, podemos encontrar sua função potencial
, tal que
. Isso significa que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
. Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar à segunda equação:
Isso implica que
, então
é uma constante. Podemos considerar essa constante como zero para simplificar:
Passo 5
Com a função potencial encontrada, podemos calcular o trabalho realizado pelo campo de força ao mover o objeto de
até
usando:
Vamos calcular
e
:
Então,
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de força é
unidades de energia.
Exercícios relacionados
Calcule a integral
, em que
e
é o segmento de reta que vai do ponto
ao ponto
.
Determine o trabalho feito pelo campo de força
ao se mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo
.
Calcule o divergente e o rotacional do campo vetorial
dado por
Mostre que, no fundo de um poço de mina vertical de profundidade
, o valor de
será dado por
onde
é o valor na superfície. Suponha que a Terra seja uma esfera uniforme de raio
.