Determine o trabalho realizado pelo campo de força F(x, y) = (2x + y)i + xj quando um objeto é movido de um ponto P(1,1) a um ponto Q(4,3). (Aqui é necessário verificar que é conservativo e obter sua função potencial.)

Passo 1

Então, temos um exercício onde precisamos descobrir o trabalho realizado por um campo de força dado por quando um objeto se move do ponto P(1,1) até o ponto Q(4,3). Para resolver isso, vamos usar conceitos de campos conservativos e funções potenciais, que fazem parte da matéria de cálculo vetorial. Vamos precisar verificar se o campo é conservativo e, se for, encontrar sua função potencial para calcular o trabalho realizado.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo de força é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se sua rotacional for zero. No caso de um campo bidimensional , a condição para ser conservativo é:
Vamos calcular essas derivadas parciais para o nosso campo.

Passo 3

Identificando e , vamos calcular as derivadas:
Substituindo na condição:
Como a diferença é zero, o campo é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que o campo é conservativo, podemos encontrar sua função potencial , tal que . Isso significa que:
Vamos integrar em relação a x para encontrar :
Aqui, g(y) é uma função que depende apenas de y. Agora, vamos derivar em relação a y e igualar à segunda equação:
Isso implica que , então g(y) é uma constante. Podemos considerar essa constante como zero para simplificar:

Passo 5

Com a função potencial encontrada, podemos calcular o trabalho realizado pelo campo de força ao mover o objeto de P(1,1) até Q(4,3) usando:
Vamos calcular e :
Então,

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força é unidades de energia.

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