Mostre que, no fundo de um poço de mina vertical de profundidade
, o valor de
será dado por
onde
é o valor na superfície. Suponha que a Terra seja uma esfera uniforme de raio
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que, quando você tá descendo dentro de um poço numa mina vertical com profundidade
, a aceleração da gravidade
que você sente lá embaixo é dada por
onde
é a gravidade na superfície da Terra e
é o raio da Terra. Pra isso, a gente vai usar conceitos de gravitação e a ideia de que a Terra é uma esfera uniforme.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração da gravidade na superfície da Terra (
) é dada por
onde
é a constante da gravitação universal e
é a massa total da Terra.
Passo 3
Agora, quando você desce até uma profundidade
dentro da Terra, a distância do centro da Terra até você passa a ser
. A massa que está atraindo você agora é apenas a massa que está dentro dessa nova distância
.
Passo 4
Como a Terra é uma esfera uniforme, a massa dentro de um raio
é proporcional ao volume dessa esfera. Então, a massa interna
é
Mas como
geralmente é muito menor que
, podemos simplificar e considerar apenas a primeira ordem, ou seja,
Passo 5
Com essa massa interna, a aceleração da gravidade
no fundo do poço fica
Substituindo
da etapa anterior, temos
Como
, substituímos na equação:
Resposta
Portanto, a aceleração da gravidade no fundo do poço é
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a um ponto
. (Aqui é necessário verificar que é conservativo e obter sua função potencial.)
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e massa
a uma distância
do centro da barra e a uma direção perpendicular a ela. Para ajudar no seu cálculo, use:
.
Denote por
o gráfico da função
e seja
(veja a figura abaixo) a curva obtida pela interseção de
o plano
. Encontre a equação geral da reta tangente à curva
passando pelo ponto
.