Mostre que, no fundo de um poço de mina vertical de profundidade d, o valor de g será dado por
g = gs(1 - d/R)
onde g_s é o valor na superfície. Suponha que a Terra seja uma esfera uniforme de raio R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que, quando você tá descendo dentro de um poço numa mina vertical com profundidade , a aceleração da gravidade que você sente lá embaixo é dada por
onde é a gravidade na superfície da Terra e é o raio da Terra. Pra isso, a gente vai usar conceitos de gravitação e a ideia de que a Terra é uma esfera uniforme.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração da gravidade na superfície da Terra ( ) é dada por
onde é a constante da gravitação universal e é a massa total da Terra.

Passo 3

Agora, quando você desce até uma profundidade dentro da Terra, a distância do centro da Terra até você passa a ser . A massa que está atraindo você agora é apenas a massa que está dentro dessa nova distância .

Passo 4

Como a Terra é uma esfera uniforme, a massa dentro de um raio é proporcional ao volume dessa esfera. Então, a massa interna é
Mas como geralmente é muito menor que , podemos simplificar e considerar apenas a primeira ordem, ou seja,

Passo 5

Com essa massa interna, a aceleração da gravidade no fundo do poço fica
Substituindo da etapa anterior, temos
Como , substituímos na equação:

Resposta

Portanto, a aceleração da gravidade no fundo do poço é

Exercícios relacionados

Calcule o divergente e o rotacional do campo vetorial F: R^3 -> R^3 dado por F(x, y, z) = x * y^2 * i + y * z^2 * j + z * x^2 * k
Determine o trabalho realizado pelo campo de força F(x, y) = (2x + y)i + xj quando um objeto é movido de um ponto P(1,1) a um ponto Q(4,3). (Aqui é necessário verificar que é conservativo e obter sua função potencial.)
Calcule o potencial gravitacional devido a uma barra fina de comprimento l e massa M a uma distância R do centro da barra e a uma direção perpendicular a ela. Para ajudar no seu cálculo, use: integral d xraizx^2+a^2=ln (x+raizx^2+a^2).
Denote por S o gráfico da função f(x, y) = cos(x^2 + y^2) e seja C (veja a figura abaixo) a curva obtida pela interseção de S o plano y = 0. Encontre a equação geral da reta tangente à curva C passando pelo ponto (raiz(pi)/2, 0, raiz(2)/2).