Considere que
seja o valor principal da potência complexa no domínio
. Calcule o valor da derivada da função no ponto indicado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para calcular a derivada da função
no ponto
. Aqui, estamos lidando com potências complexas, então vamos precisar usar conceitos de funções complexas e derivadas nessa área. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para calcular a derivada de uma função da forma
, onde
é uma constante complexa, podemos usar a regra da cadeia. A derivada será
. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Agora, vamos identificar
e sua derivada:
-
-
(já que a derivada de é 2 e a derivada de 1 é 0)
Então, aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, precisamos calcular
, ou seja, substituir
por
:
Para simplificar
, vamos escrever
na forma polar. Primeiro, calculamos o módulo e o argumento:
- Módulo:
- Argumento:
Então,
. Elevando isso a
:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na expressão de
:
Podemos simplificar um pouco mais, mas essa já é uma forma bastante completa da derivada no ponto indicado.
Resposta
A derivada da função no ponto
é: