Considere que f(z) = z^α seja o valor principal da potência complexa no domínio |z| > 0 e - pi < arg(z) < pi. Calcule o valor da derivada da função no ponto indicado: (2 z + 1)^(i + 1) ; z = i

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para calcular a derivada da função no ponto . Aqui, estamos lidando com potências complexas, então vamos precisar usar conceitos de funções complexas e derivadas nessa área. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular a derivada de uma função da forma , onde é uma constante complexa, podemos usar a regra da cadeia. A derivada será . No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, vamos identificar e sua derivada:
  • (já que a derivada de é 2 e a derivada de 1 é 0)
Então, aplicando a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, precisamos calcular , ou seja, substituir por :
Para simplificar , vamos escrever na forma polar. Primeiro, calculamos o módulo e o argumento:
  • Módulo:
  • Argumento:
Então, . Elevando isso a :

Passo 5

Agora, substituímos de volta na expressão de :
Podemos simplificar um pouco mais, mas essa já é uma forma bastante completa da derivada no ponto indicado.

Resposta

A derivada da função no ponto é:

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