Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais abaixo e represente-os graficamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o divergente e o rotacional do campo vetorial . Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, especificamente das operações que podemos fazer com campos vetoriais. Para resolver, vamos precisar lembrar como calcular o divergente e o rotacional, além de entender o que cada um representa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o divergente do campo vetorial. O divergente nos indica como o campo está “espargando” ou “convergindo” em cada ponto. Matematicamente, para um campo , o divergente é dado por:
No nosso caso, , o que significa que:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Então, o divergente fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular o rotacional (ou rotacional em português) do campo vetorial. O rotacional nos mostra a tendência do campo de “girar” ao redor de um ponto. Para um campo , o rotacional é dado por:
Usando os mesmos e do passo anterior:
Então, o rotacional fica:
Passo 5
Agora, vamos representar graficamente o divergente e o rotacional que encontramos.
Divergente (): Isso significa que não há “fluxo” do campo para dentro ou para fora em nenhum ponto. O campo é conservativo nesse sentido.
Rotacional (): O valor constante negativo indica que o campo tem uma tendência uniforme de rotação no sentido horário em todo o plano.
Resposta
O divergente do campo vetorial é e o rotacional é . Graficamente, isso significa que o campo não tem fluxo divergente e possui uma rotação constante no sentido horário em todo o plano.