Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que analisar o gráfico da função
. Para isso, vamos usar alguns conceitos de matemática como domínio, interseções com os eixos, simetrias, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade e pontos de inflexão. Vou te explicar cada passo de maneira simples, para a gente conseguir esboçar o gráfico no final.
Passo 2
A. Determinar o domínio da função.
O domínio de uma função são todos os valores de
para os quais a função está definida. Olhando para
, o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é permitida.
Então, vamos resolver:
Como
sempre é positivo ou zero, ele nunca será igual a -3. Portanto, a função está definida para todos os valores de
.
Domínio:
(todos os números reais).
Passo 3
B. Intersecções com os eixos.
Interseção com o eixo
:
Para achar onde a função cruza o eixo
, colocamos
:
Então, a interseção com o eixo
é no ponto
.
Interseção com o eixo
:
Para achar onde a função cruza o eixo
, colocamos
:
Isso só acontece quando o numerador é zero:
Então, a interseção com o eixo
também é no ponto
.
Passo 4
C. Simetrias.
Vamos verificar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
Uma função é par se
. Vamos testar:
Então, a função é par. Isso significa que o gráfico é simétrico em relação ao eixo
.
Passo 5
D. Assíntotas horizontais e verticais.
Assíntotas verticais:
São valores de
que fazem o denominador zero. Mas já vimos que
para nenhum
real. Então, não há assíntotas verticais.
Assíntotas horizontais:
Para encontrar assíntotas horizontais, analisamos o limite da função quando
tende a
ou
:
Então, a função tem uma assíntota horizontal em
.
Passo 6
E. Intervalos onde a função é crescente ou decrescente.
Para isso, vamos encontrar a derivada da função e ver onde ela é positiva (crescente) ou negativa (decrescente).
Calculando a derivada de
:
Agora, analisamos o sinal de
:
- O denominador
é sempre positivo. - O sinal de
depende apenas do numerador : - Se
, → função é crescente. - Se
, → função é decrescente. - Se
, → ponto crítico.
- Se
Intervalos:
- Crescente:
- Decrescente:
Passo 7
F. Valores de máximo e mínimo locais.
Os pontos onde a derivada é zero ou não existe são candidatos a máximos ou mínimos locais. No nosso caso, temos um ponto crítico em
.
Vamos analisar usando a derivada:
- Para
, a função é decrescente. - Para
, a função é crescente.
Então, em
, a função muda de decrescente para crescente, indicando um mínimo local.
Calculando
, então o mínimo local é
.
Não há máximos locais, pois a função continua aumentando para
.
Passo 8
G. Intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
Para isso, precisamos da segunda derivada da função.
Calculando a segunda derivada:
Simplificando:
Agora, analisamos o sinal de
:
O denominador é sempre positivo. O numerador depende de
:
- Se
→ → → concavidade para baixo. - Se
→ → → concavidade para cima.
Quando
→
, a concavidade muda, indicando pontos de inflexão.
Intervalos:
- Concavidade para cima:
- Concavidade para baixo:
e
Pontos de inflexão:
Calculando
, então os pontos de inflexão são
e
.
Resposta
Analisando cada aspecto da função
, determinamos que:
- Domínio: Todos os números reais.
- Interseções com os eixos: Apenas no ponto
. - Simetria: Função par, simétrica em relação ao eixo
. - Assíntotas: Não possui assíntotas verticais e tem uma assíntota horizontal em
. - Crescimento: Crescente para
e decrescente para . - Mínimo Local: No ponto
. - Concavidade: Para cima entre
e para baixo fora desse intervalo. - Pontos de Inflexão: Nos pontos
e .
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função mostrando seus principais comportamentos e características.