Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que analisar o gráfico da função . Para isso, vamos usar alguns conceitos de matemática como domínio, interseções com os eixos, simetrias, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade e pontos de inflexão. Vou te explicar cada passo de maneira simples, para a gente conseguir esboçar o gráfico no final.

Passo 2

A. Determinar o domínio da função.
O domínio de uma função são todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para , o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é permitida.
Então, vamos resolver:
Como sempre é positivo ou zero, ele nunca será igual a -3. Portanto, a função está definida para todos os valores de .
Domínio: (todos os números reais).

Passo 3

B. Intersecções com os eixos.
Interseção com o eixo :
Para achar onde a função cruza o eixo , colocamos :
Então, a interseção com o eixo é no ponto .
Interseção com o eixo :
Para achar onde a função cruza o eixo , colocamos :
Isso só acontece quando o numerador é zero:
Então, a interseção com o eixo também é no ponto .

Passo 4

C. Simetrias.
Vamos verificar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
Uma função é par se . Vamos testar:
Então, a função é par. Isso significa que o gráfico é simétrico em relação ao eixo .

Passo 5

D. Assíntotas horizontais e verticais.
Assíntotas verticais:
São valores de que fazem o denominador zero. Mas já vimos que para nenhum real. Então, não há assíntotas verticais.
Assíntotas horizontais:
Para encontrar assíntotas horizontais, analisamos o limite da função quando tende a ou :
Então, a função tem uma assíntota horizontal em .

Passo 6

E. Intervalos onde a função é crescente ou decrescente.
Para isso, vamos encontrar a derivada da função e ver onde ela é positiva (crescente) ou negativa (decrescente).
Calculando a derivada de :
Agora, analisamos o sinal de :
  • O denominador é sempre positivo.
  • O sinal de depende apenas do numerador :
    • Se , → função é crescente.
    • Se , → função é decrescente.
    • Se , → ponto crítico.
Intervalos:
  • Crescente:
  • Decrescente:

Passo 7

F. Valores de máximo e mínimo locais.
Os pontos onde a derivada é zero ou não existe são candidatos a máximos ou mínimos locais. No nosso caso, temos um ponto crítico em .
Vamos analisar usando a derivada:
  • Para , a função é decrescente.
  • Para , a função é crescente.
Então, em , a função muda de decrescente para crescente, indicando um mínimo local.
Calculando , então o mínimo local é .
Não há máximos locais, pois a função continua aumentando para .

Passo 8

G. Intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
Para isso, precisamos da segunda derivada da função.
Calculando a segunda derivada:
Simplificando:
Agora, analisamos o sinal de :
O denominador é sempre positivo. O numerador depende de :
  • Se → concavidade para baixo.
  • Se → concavidade para cima.
Quando , a concavidade muda, indicando pontos de inflexão.
Intervalos:
  • Concavidade para cima:
  • Concavidade para baixo: e
Pontos de inflexão:
Calculando , então os pontos de inflexão são e .

Resposta

Analisando cada aspecto da função , determinamos que:
  • Domínio: Todos os números reais.
  • Interseções com os eixos: Apenas no ponto .
  • Simetria: Função par, simétrica em relação ao eixo .
  • Assíntotas: Não possui assíntotas verticais e tem uma assíntota horizontal em .
  • Crescimento: Crescente para e decrescente para .
  • Mínimo Local: No ponto .
  • Concavidade: Para cima entre e para baixo fora desse intervalo.
  • Pontos de Inflexão: Nos pontos e .
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função mostrando seus principais comportamentos e características.

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