Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais abaixo e represente-os graficamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o divergente e o rotacional de um campo vetorial dado, que é . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as operações de divergente e rotacional. Precisaremos entender como aplicar essas operações em campos vetoriais de duas dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o divergente do campo vetorial . O divergente de um campo vetorial em duas dimensões é dado pela soma das derivadas parciais das componentes do campo em relação às suas respectivas variáveis. A fórmula é:
Aqui, e são as componentes do campo vetorial nas direções e , respectivamente.
Passo 3
Vamos identificar as componentes do nosso campo :
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Somando essas derivadas:
Passo 4
Agora, vamos calcular o rotacional do campo vetorial . Em duas dimensões, o rotacional é uma quantidade escalar que representa a tendência do campo de “girar” em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional é:
Passo 5
Usando as componentes do nosso campo:
Calculamos as derivadas parciais:
(porque é tratada como constante em relação a )
(porque é tratada como constante em relação a )
Substituindo na fórmula do rotacional:
Resposta
O divergente do campo vetorial é e o rotacional é .