Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais abaixo e represente-os graficamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o divergente e o rotacional de um campo vetorial dado, que é . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as operações de divergente e rotacional. Precisaremos entender como aplicar essas operações em campos vetoriais de duas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente do campo vetorial . O divergente de um campo vetorial em duas dimensões é dado pela soma das derivadas parciais das componentes do campo em relação às suas respectivas variáveis. A fórmula é:
Aqui, e são as componentes do campo vetorial nas direções e , respectivamente.

Passo 3

Vamos identificar as componentes do nosso campo :
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Somando essas derivadas:

Passo 4

Agora, vamos calcular o rotacional do campo vetorial . Em duas dimensões, o rotacional é uma quantidade escalar que representa a tendência do campo de “girar” em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional é:

Passo 5

Usando as componentes do nosso campo:
Calculamos as derivadas parciais:
  • (porque é tratada como constante em relação a )
  • (porque é tratada como constante em relação a )
Substituindo na fórmula do rotacional:

Resposta

O divergente do campo vetorial é e o rotacional é .

Exercícios relacionados

Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Use coordenadas polares para calcular a integral dupla. , onde é a região contida no círculo .
Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais abaixo e represente-os graficamente.
Encontre a divergência e o rotacional do campo vetorial dado: