Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais abaixo e represente-os graficamente.
(x, y) = c x i + c y j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o divergente e o rotacional de um campo vetorial dado, que é . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as operações de divergente e rotacional. Precisaremos entender como aplicar essas operações em campos vetoriais de duas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente do campo vetorial F. O divergente de um campo vetorial em duas dimensões é dado pela soma das derivadas parciais das componentes do campo em relação às suas respectivas variáveis. A fórmula é:
Aqui, e são as componentes do campo vetorial nas direções x e y, respectivamente.

Passo 3

Vamos identificar as componentes do nosso campo :
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Somando essas derivadas:

Passo 4

Agora, vamos calcular o rotacional do campo vetorial F. Em duas dimensões, o rotacional é uma quantidade escalar que representa a tendência do campo de “girar” em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional é:

Passo 5

Usando as componentes do nosso campo:
Calculamos as derivadas parciais:
  • (porque y é tratada como constante em relação a x)
  • (porque x é tratada como constante em relação a y)
Substituindo na fórmula do rotacional:

Resposta

O divergente do campo vetorial é e o rotacional é .

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