Considere
, onde
sen
). Calcule o divergente e o rotacional, para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma função vetorial
, onde . A tarefa é calcular o divergente e o rotacional dessa função no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as definições de divergente e rotacional para funções em duas dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o divergente. O divergente de uma função vetorial
é dado por:
Isso basicamente mede a “taxa de expansão” da função vetorial naquele ponto.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais para o divergente.
Temos e
.
Primeiro, calculamos
:
Em seguida, calculamos
:
Passo 4
Agora, somamos essas duas derivadas para obter o divergente:
Passo 5
Vamos agora calcular o rotacional (ou curl) da função vetorial. Em duas dimensões, o rotacional de
é dado por:
Isso mede a tendência da função vetorial de “girar” ao redor de um ponto.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para o rotacional.
Primeiro,
:
Em seguida,
:
Passo 7
Agora, calculamos o rotacional:
Passo 8
Finalmente, vamos avaliar o divergente e o rotacional no ponto
.
Para o divergente:
(Lembre-se que
)
Para o rotacional:
Resposta
No ponto
, o divergente de
é
e o rotacional é
.
Exercícios relacionados
Encontre a divergência e o rotacional do campo vetorial
dado:
Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais abaixo e represente-os graficamente.
Resolva as integrais abaixo:
Determine o volume do sólido limitado pela superfície
pelos planos
.