Considere , onde sen ). Calcule o divergente e o rotacional, para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma função vetorial , onde . A tarefa é calcular o divergente e o rotacional dessa função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as definições de divergente e rotacional para funções em duas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o divergente. O divergente de uma função vetorial é dado por:
Isso basicamente mede a “taxa de expansão” da função vetorial naquele ponto.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais para o divergente.
Temos e .
Primeiro, calculamos :
Em seguida, calculamos :

Passo 4

Agora, somamos essas duas derivadas para obter o divergente:

Passo 5

Vamos agora calcular o rotacional (ou curl) da função vetorial. Em duas dimensões, o rotacional de é dado por:
Isso mede a tendência da função vetorial de “girar” ao redor de um ponto.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para o rotacional.
Primeiro, :
Em seguida, :

Passo 7

Agora, calculamos o rotacional:

Passo 8

Finalmente, vamos avaliar o divergente e o rotacional no ponto .
Para o divergente:
(Lembre-se que )
Para o rotacional:

Resposta

No ponto , o divergente de é e o rotacional é .

Exercícios relacionados

Encontre a divergência e o rotacional do campo vetorial dado:
Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais abaixo e represente-os graficamente.
Resolva as integrais abaixo:
Determine o volume do sólido limitado pela superfície pelos planos .