Encontre a divergência e o rotacional do campo vetorial
dado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa encontrar a divergência e o rotacional do campo vetorial dado:
Para isso, vamos usar dois conceitos importantes da matéria: divergência e rotacional de um campo vetorial. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo
. A divergência é uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto. Matematicamente, ela se calcula como:
Onde
,
e
são as componentes de
nas direções
,
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula ao nosso campo
:
Calculando as derivadas parciais:
Então, a divergência fica:
Passo 4
Agora vamos calcular o rotacional de
. O rotacional indica a tendência do campo de “girar” em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional é dada por:
Passo 5
Vamos calcular cada componente do rotacional:
Então, a componente
fica:
Para a componente
:
Então:
Por fim, para a componente
:
Então:
Resposta
A divergência de
é:
E o rotacional de
é: