Encontre a divergência e o rotacional do campo vetorial dado:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa encontrar a divergência e o rotacional do campo vetorial dado:
Para isso, vamos usar dois conceitos importantes da matéria: divergência e rotacional de um campo vetorial. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo . A divergência é uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto. Matematicamente, ela se calcula como:
Onde , e são as componentes de nas direções , e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula ao nosso campo :
Calculando as derivadas parciais:
Então, a divergência fica:

Passo 4

Agora vamos calcular o rotacional de . O rotacional indica a tendência do campo de “girar” em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional é dada por:

Passo 5

Vamos calcular cada componente do rotacional:
Então, a componente fica:
Para a componente :
ã
Então:
Por fim, para a componente :
ã
Então:

Resposta

A divergência de é:
E o rotacional de é:

Exercícios relacionados

Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais abaixo e represente-os graficamente.
Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais abaixo e represente-os graficamente.
Considere , onde sen ). Calcule o divergente e o rotacional, para .
Resolva as integrais abaixo: