Use coordenadas polares para calcular a integral dupla. integral duplaR e^-(x^2+y^2) d A, onde R é a região contida no círculo x^2+y^2=1.

Passo 1

Vamos analisar o que o exercício pede. Temos que calcular a integral dupla , onde é a região dentro do círculo definido por . Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são muito úteis para regiões circulares. Precisaremos entender como converter coordenadas cartesianas para polares e ajustar a integral para essas novas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cartesianas, um ponto x = r cos theta y = r sin theta pode ser representado em coordenadas polares como , onde:
Aqui, é a distância do ponto à origem e é o ângulo em relação ao eixo . A região , que é o interior do círculo , corresponde a todos os pontos onde varia de 0 a 1 e varia de 0 a .

Passo 3

Quando mudamos para coordenadas polares, o elemento de área dA = r , dr , dtheta em coordenadas cartesianas ( integral duplaR e^-(r^2) cdot r , dr , dtheta ) se transforma em:
Portanto, nossa integral dupla em coordenadas polares fica:
Note que substituímos por .

Passo 4

Agora, vamos separar a integral em duas integrais iteradas: uma em integral0^2pi integral0^1 e^-r^2 cdot r , dr , dtheta de 0 a 1 e outra em de 0 a :
Isso significa que primeiro integramos em relação a e depois em relação a .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^1 e^-r^2 cdot r , dr
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja du = -2r , dr Rightarrow -du2 = r , dr , então:
integral0^1 e^-r^2 cdot r , dr = 12 integral0^1 e^u , du = 12 [e^u]u=0^u=-1 = 12 (e^0 - e^-1) = 12 (1 - 1e)
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^2pi 12 (1 - 1e) dtheta = 12 (1 - 1e) integral0^2pi dtheta = 12 (1 - 1e) cdot 2pi = pi (1 - 1e)

Resposta

A integral dupla vale .

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