Use coordenadas polares para calcular a integral dupla. , onde é a região contida no círculo .

Passo 1

Vamos analisar o que o exercício pede. Temos que calcular a integral dupla , onde é a região dentro do círculo definido por . Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são muito úteis para regiões circulares. Precisaremos entender como converter coordenadas cartesianas para polares e ajustar a integral para essas novas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cartesianas, um ponto pode ser representado em coordenadas polares como , onde:
Aqui, é a distância do ponto à origem e é o ângulo em relação ao eixo . A região , que é o interior do círculo , corresponde a todos os pontos onde varia de 0 a 1 e varia de 0 a .

Passo 3

Quando mudamos para coordenadas polares, o elemento de área em coordenadas cartesianas ( ) se transforma em:
Portanto, nossa integral dupla em coordenadas polares fica:
Note que substituímos por .

Passo 4

Agora, vamos separar a integral em duas integrais iteradas: uma em de 0 a 1 e outra em de 0 a :
Isso significa que primeiro integramos em relação a e depois em relação a .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja , então:
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:

Resposta

A integral dupla vale .

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Considere que seja o valor principal da potência complexa no domínio . Calcule o valor da derivada da função no ponto indicado:
Considere , onde , no ponto Calcule o divergente e o rotacional.
Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais abaixo e represente-os graficamente.