Use coordenadas polares para calcular a integral dupla.
, onde
é a região contida no círculo
.
Passo 1
Vamos analisar o que o exercício pede. Temos que calcular a integral dupla
, onde
é a região dentro do círculo definido por
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são muito úteis para regiões circulares. Precisaremos entender como converter coordenadas cartesianas para polares e ajustar a integral para essas novas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cartesianas, um ponto
pode ser representado em coordenadas polares como
, onde:
Aqui,
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo em relação ao eixo
. A região
, que é o interior do círculo
, corresponde a todos os pontos onde
varia de 0 a 1 e
varia de 0 a
.
Passo 3
Quando mudamos para coordenadas polares, o elemento de área
em coordenadas cartesianas (
) se transforma em:
Portanto, nossa integral dupla em coordenadas polares fica:
Note que substituímos
por
.
Passo 4
Agora, vamos separar a integral em duas integrais iteradas: uma em
de 0 a 1 e outra em
de 0 a
:
Isso significa que primeiro integramos em relação a
e depois em relação a
.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja
, então:
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resposta
A integral dupla vale
.
Exercícios relacionados
Considere que
seja o valor principal da potência complexa no domínio
. Calcule o valor da derivada da função no ponto indicado:
Considere
, onde
, no ponto
Calcule o divergente e o rotacional.
Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais abaixo e represente-os graficamente.