Dado que , calcule sobre a região .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral da função sobre a região onde e . Isso envolve cálculo integral, especificamente integrais duplas, onde a gente integra uma função sobre uma área definida no plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região de integração. Temos que e . Isso significa que para cada valor de entre 0 e 1, varia de algum limite inferior até . Como não há outra restrição para , assumimos que começa de até . Mas, geralmente, espera-se que também seja restrito no intervalo onde a função está definida ou relevante. Para simplificar, vamos considerar que varia de a .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. A integral sobre a região é dada por:
Aqui, integramos primeiro em relação a de a , e depois em relação a de a .

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a :
Separando os termos:
Calculando cada integral:

Passo 5

Agora, substituímos a integral interna resolvida na integral externa:
Vamos integrar termo a termo:
Calculando cada integral:

Resposta

A integral sobre a região e é igual a .

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Calcule as áreas das seguintes superfícies, utilizando a área das superfície diferencial :
©
Utilizando o comprimento diferencial , determine o Comprimento de cada uma das seguintes curvas:
(b)
encontre o gradiente dos seguintes campos escalares:
(a)
Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais a seguir:
(b)