Dado que rho=x^2+x y, calcule integrals d a sobre a região y <= x^2, 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral da função rho = x^2 + x y sobre a região onde y <= x^2 e 0 < x < 1. Isso envolve cálculo integral, especificamente integrais duplas, onde a gente integra uma função sobre uma área definida no plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região de integração. Temos que 0 < x < 1 e y <= x^2. Isso significa que para cada valor de x entre 0 e 1, y varia de algum limite inferior até x^2. Como não há outra restrição para y, assumimos que y começa de -infty até x^2. Mas, geralmente, espera-se que y também seja restrito no intervalo onde a função está definida ou relevante. Para simplificar, vamos considerar que y varia de 0 a x^2.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. A integral sobre a região S é dada por:
integral duplaS rho , da = integralx=0^1 integraly=0^x^2 (x^2 + x y) , dy , dx
Aqui, integramos primeiro em relação a y de 0 a x^2, e depois em relação a x de 0 a 1.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a y:
integral0^x^2 (x^2 + x y) , dy
Separando os termos:
integral0^x^2 x^2 , dy + integral0^x^2 x y , dy
Calculando cada integral:
x^2 cdot y |0^x^2 + x cdot y^22 |0^x^2 = x^2 cdot x^2 + x cdot (x^2)^22 = x^4 + x^52

Passo 5

Agora, substituímos a integral interna resolvida na integral externa:
integral0^1 ( x^4 + x^52 ) , dx
Vamos integrar termo a termo:
integral0^1 x^4 , dx + 12 integral0^1 x^5 , dx
Calculando cada integral:
x^55 |0^1 + 12 cdot x^66 |0^1 = 15 + 112 = 12 + 560 = 1760

Resposta

A integral integralS rho , da sobre a região y <= x^2 e 0 < x < 1 é igual a 1760.

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