Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais a seguir:
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o divergente e o rotacional do campo vetorial dado:
Esse problema faz parte do conteúdo de Cálculo Vetorial, mais especificamente sobre os operadores diferenciais em coordenadas esféricas. Para resolver, vamos precisar das fórmulas do divergente e do rotacional nessas coordenadas e aplicá-las passo a passo ao campo vetorial fornecido.

Passo 2

Vamos começar calculando o divergente do campo . Em coordenadas esféricas , o divergente de um campo vetorial é dado por:
Primeiro, identificamos os componentes do nosso campo:
Agora, vamos substituir esses componentes na fórmula do divergente.

Passo 3

Vamos calcular cada termo do divergente separadamente.
  1. Termo em :
  1. Termo em :
  1. Termo em :
Pois não depende de .

Passo 4

Agora, somando os três termos que calculamos:
Simplificando a expressão:

Passo 5

Agora vamos calcular o rotacional do campo vetorial . Em coordenadas esféricas, o rotacional de um campo é dado por:
Vamos calcular esse determinante passo a passo.

Passo 6

Calculando cada componente do rotacional:
  1. Componente :
Como não depende de , o segundo termo é zero. Então:
  1. Componente :
  1. Componente :

Passo 7

Juntando tudo, o rotacional do campo vetorial é:

Resposta

  • Divergente do campo vetorial :
  • Rotacional do campo vetorial :

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Calcule dä, onde é a superfície de uma fatia cilíndrica definida por , e da é é normal a essa superfície. Assuma que .
Dica: e z devem ser convertidos para o sistema de coordenadas cilíndricas
Utilize o volume diferencial para determinar os volumes das seguintes regiões:
(a)
Encontre o fluxo do rotacional do campo através do hemisfério e .
Utilizando o comprimento diferencial , determine o Comprimento de cada uma das seguintes curvas:
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