Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o divergente e o rotacional do campo vetorial dado:
Esse problema faz parte do conteúdo de Cálculo Vetorial, mais especificamente sobre os operadores diferenciais em coordenadas esféricas. Para resolver, vamos precisar das fórmulas do divergente e do rotacional nessas coordenadas e aplicá-las passo a passo ao campo vetorial fornecido.
Passo 2
Vamos começar calculando o divergente do campo . Em coordenadas esféricas , o divergente de um campo vetorial é dado por:
Primeiro, identificamos os componentes do nosso campo:
Agora, vamos substituir esses componentes na fórmula do divergente.
Passo 3
Vamos calcular cada termo do divergente separadamente.
Termo em :
Termo em :
Termo em :
Pois não depende de .
Passo 4
Agora, somando os três termos que calculamos:
Simplificando a expressão:
Passo 5
Agora vamos calcular o rotacional do campo vetorial . Em coordenadas esféricas, o rotacional de um campo é dado por:
Vamos calcular esse determinante passo a passo.
Passo 6
Calculando cada componente do rotacional:
Componente :
Como não depende de , o segundo termo é zero. Então: