Encontre o fluxo do rotacional do campo através do hemisfério e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o fluxo do rotacional do campo através de um hemisfério de raio onde . Isso está dentro da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente envolvendo conceitos como rotacional, fluxo e teoremas de integração como o Teorema de Stokes ou o Teorema da Divergência. Para resolver, vamos precisar entender o que é o rotacional de um campo vetorial e como calcular o fluxo através de uma superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por , mede a tendência do campo vetorial de girar em torno de um ponto. É uma espécie de “circulação local” do campo.
No nosso caso, precisamos encontrar o rotacional de . A expressão do campo está dada em coordenadas esféricas:
Calculando o rotacional nesse sistema de coordenadas pode ser um pouco trabalhoso, mas vamos em frente.

Passo 3

Depois de encontrar o rotacional , precisamos calcular o fluxo desse rotacional através do hemisfério dado. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanta “quilo” do campo passa por essa superfície.
Para facilitar, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona o fluxo do rotacional de um campo vetorial através de uma superfície com a integral de linha do campo ao longo da borda dessa superfície:
Aqui, é o hemisfério e é a borda do hemisfério, que no caso é o círculo no plano com raio .

Passo 4

Vamos calcular a integral de linha . Para isso, precisamos parametrizar a curva de borda.
No plano , em coordenadas esféricas, temos . Então, podemos parametrizar o círculo de raio 4 como:
Convertendo para coordenadas cartesianas para facilitar, temos:
O vetor diferencial na direção tangente ao círculo é:

Passo 5

Agora, vamos substituir na parametrização da curva:
Simplificando:
Então:
Em coordenadas cartesianas, no plano é , então:

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar :
Simplificando:
Sabemos que , então:

Passo 7

Agora, integramos de a :
A integral de de 0 a é zero, pois é uma função periódica que se anula ao longo de um ciclo completo.
Portanto:

Resposta

O fluxo do rotacional do campo através do hemisfério é igual a 0.

Exercícios relacionados

Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais a seguir:
©
Calcule dä, onde é a superfície de uma fatia cilíndrica definida por , e da é é normal a essa superfície. Assuma que .
Dica: e z devem ser convertidos para o sistema de coordenadas cilíndricas
Utilizando o comprimento diferencial , determine o Comprimento de cada uma das seguintes curvas:
© Constante
Utilize o volume diferencial para determinar os volumes das seguintes regiões:
©