Encontre o fluxo do rotacional do campo
através do hemisfério
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o fluxo do rotacional do campo
através de um hemisfério de raio
onde
. Isso está dentro da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente envolvendo conceitos como rotacional, fluxo e teoremas de integração como o Teorema de Stokes ou o Teorema da Divergência. Para resolver, vamos precisar entender o que é o rotacional de um campo vetorial e como calcular o fluxo através de uma superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por
, mede a tendência do campo vetorial de girar em torno de um ponto. É uma espécie de “circulação local” do campo.
No nosso caso, precisamos encontrar o rotacional de
. A expressão do campo está dada em coordenadas esféricas:
Calculando o rotacional nesse sistema de coordenadas pode ser um pouco trabalhoso, mas vamos em frente.
Passo 3
Depois de encontrar o rotacional
, precisamos calcular o fluxo desse rotacional através do hemisfério dado. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanta “quilo” do campo passa por essa superfície.
Para facilitar, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona o fluxo do rotacional de um campo vetorial através de uma superfície com a integral de linha do campo ao longo da borda dessa superfície:
Aqui,
é o hemisfério e
é a borda do hemisfério, que no caso é o círculo no plano
com raio
.
Passo 4
Vamos calcular a integral de linha
. Para isso, precisamos parametrizar a curva de borda.
No plano
, em coordenadas esféricas, temos
. Então, podemos parametrizar o círculo de raio 4 como:
Convertendo para coordenadas cartesianas para facilitar, temos:
O vetor diferencial
na direção tangente ao círculo é:
Passo 5
Agora, vamos substituir
na parametrização da curva:
Simplificando:
Então:
Em coordenadas cartesianas,
no plano
é
, então:
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Agora, integramos de
a
:
A integral de
de 0 a
é zero, pois
é uma função periódica que se anula ao longo de um ciclo completo.
Portanto:
Resposta
O fluxo do rotacional do campo
através do hemisfério é igual a 0.