Utilizando o comprimento diferencial
, determine o Comprimento de cada uma das seguintes curvas:
©
Constante
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que está na área de Cálculo, mais especificamente sobre geometria em coordenadas esféricas. A gente precisa encontrar o comprimento de uma curva definida por
, com o ângulo
variando de
até
, e
sendo constante. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento diferencial
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o comprimento de uma curva em coordenadas esféricas. A fórmula geral para o comprimento diferencial é:
No nosso caso, como
é constante e
também é constante, as derivadas
e
serão zero. Então, a expressão simplifica bastante.
Passo 3
Com
constante e
constante, a fórmula do comprimento diferencial fica:
Isso porque as outras partes da fórmula que envolvem as derivadas desaparecem.
Passo 4
Agora, para encontrar o comprimento total da curva, vamos integrar o comprimento diferencial de
até
. Primeiro, precisamos converter os ângulos para radianos, porque é assim que trabalhamos com integrais.
Passo 5
Substituindo os valores na integral, temos:
Como 4 é uma constante, podemos tirar da integral:
Passo 6
A integral de
é simplesmente
. Então, avaliando os limites:
Passo 7
Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
Então:
Resposta
O comprimento da curva é
unidades.
Exercícios relacionados
Encontre o fluxo do rotacional do campo
através do hemisfério
e
.
Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais a seguir:
©
©
Utilize o volume diferencial
para determinar os volumes das seguintes regiões:
©
©
Se a integral
representa o trabalho realizado para deslocar uma partícula de a até
, encontre o trabalho realizado pelo campo de força:
Sobre uma linha que se desloca de
até
ao longo:
(a) do segmento
(b) da linha reta entre os pontos e
.
(a) do segmento
(b) da linha reta entre os pontos