Utilizando o comprimento diferencial , determine o Comprimento de cada uma das seguintes curvas:
© Constante

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que está na área de Cálculo, mais especificamente sobre geometria em coordenadas esféricas. A gente precisa encontrar o comprimento de uma curva definida por , com o ângulo variando de até , e sendo constante. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento diferencial .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o comprimento de uma curva em coordenadas esféricas. A fórmula geral para o comprimento diferencial é:
No nosso caso, como é constante e também é constante, as derivadas e serão zero. Então, a expressão simplifica bastante.

Passo 3

Com constante e constante, a fórmula do comprimento diferencial fica:
Isso porque as outras partes da fórmula que envolvem as derivadas desaparecem.

Passo 4

Agora, para encontrar o comprimento total da curva, vamos integrar o comprimento diferencial de até . Primeiro, precisamos converter os ângulos para radianos, porque é assim que trabalhamos com integrais.

Passo 5

Substituindo os valores na integral, temos:
Como 4 é uma constante, podemos tirar da integral:

Passo 6

A integral de é simplesmente . Então, avaliando os limites:

Passo 7

Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
Então:

Resposta

O comprimento da curva é unidades.

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©
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(a) do segmento
(b) da linha reta entre os pontos e .