Calcule domínio, imagem, amplitude, período, assíntotas, intervalos de positividade, e esboce o gráfico no intervalo :
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa descobrir várias coisas sobre ela: o domínio, a imagem, a amplitude, o período, se tem assíntotas, em quais intervalos ela é positiva e também esboçar o gráfico no intervalo de . Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de funções trigonométricas, especialmente as do seno.

Passo 2

Domínio: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso da função seno, está definida para todos os números reais. Como temos , multiplicar o por 2 não muda isso. Então:

Passo 3

Imagem: A imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. Sabemos que o seno sempre varia entre -1 e 1, independente do que está dentro dele. Então:

Passo 4

Amplitude: A amplitude é metade da diferença entre o valor máximo e o mínimo da função. Para o seno, que vai de -1 a 1:
Então, a amplitude é 1.

Passo 5

Período: O período é o comprimento do ciclo da função. A função tem período . Quando temos , o período muda para . Aqui, :
Então, o período é .

Passo 6

Assíntotas: Assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca. No caso das funções seno e cosseno, que são funções periódicas e contínuas, não existem assíntotas verticais ou horizontais. Elas oscilam indefinidamente entre -1 e 1.

Passo 7

Intervalos de Positividade: Vamos descobrir quando é positivo no intervalo de .
Sabemos que o seno é positivo no primeiro e segundo quadrantes. Com o fator 2 dentro do seno, os intervalos se ajustam:
  1. está entre e :
  2. está entre e :
Então, é positivo para:

Passo 8

Esboço do Gráfico no Intervalo [0, 2π]:
Vamos desenhar o gráfico de de a :
  1. Pontos-chave:
    • :
    • :
    • :
    • :
    • :
    • E assim por diante até
  2. Forma do Gráfico:
    • A função completa dois ciclos completos no intervalo de a devido ao período .
    • Ele oscila entre 1 e -1, cruzando o eixo em múltiplos de .
Gráfico de f(x) = sen(2x)
Nota: Imagine um gráfico de seno com duas oscilações completas entre 0 e .

Resposta

Domínio: , Imagem: , Amplitude: 1, Período: , Assíntotas: não existem, Intervalos de positividade: e . O gráfico de no intervalo é uma curva senoidal com duas oscilações completas entre 0 e .

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Determine as derivadas das seguintes funções.
(a) .
Calcule domínio, imagem, amplitude, período, assíntotas, intervalos de positividade, e esboce o gráfico no intervalo :
(e)