Calcule domínio, imagem, amplitude, período, assíntotas, intervalos de positividade, e esboce o gráfico no intervalo
:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa descobrir várias coisas sobre ela: o domínio, a imagem, a amplitude, o período, se tem assíntotas, em quais intervalos ela é positiva e também esboçar o gráfico no intervalo de
. Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de funções trigonométricas, especialmente as do seno.
Passo 2
Domínio: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. No caso da função seno, está definida para todos os números reais. Como temos , multiplicar o
por 2 não muda isso. Então:
Passo 3
Imagem: A imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. Sabemos que o seno sempre varia entre -1 e 1, independente do que está dentro dele. Então:
Passo 4
Amplitude: A amplitude é metade da diferença entre o valor máximo e o mínimo da função. Para o seno, que vai de -1 a 1:
Então, a amplitude é 1.
Passo 5
Período: O período é o comprimento do ciclo da função. A função tem período
. Quando temos , o período muda para
. Aqui,
:
Então, o período é
.
Passo 6
Assíntotas: Assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca. No caso das funções seno e cosseno, que são funções periódicas e contínuas, não existem assíntotas verticais ou horizontais. Elas oscilam indefinidamente entre -1 e 1.
Passo 7
Intervalos de Positividade: Vamos descobrir quando é positivo no intervalo de
.
Sabemos que o seno é positivo no primeiro e segundo quadrantes. Com o fator 2 dentro do seno, os intervalos se ajustam:
-
está entre e : -
está entre e :
Então, é positivo para:
Passo 8
Esboço do Gráfico no Intervalo [0, 2π]:
Vamos desenhar o gráfico de de
a
:
-
Pontos-chave:
-
: -
: -
: -
: -
: - E assim por diante até
-
-
Forma do Gráfico:
- A função completa dois ciclos completos no intervalo de
a devido ao período . - Ele oscila entre 1 e -1, cruzando o eixo
em múltiplos de .
- A função completa dois ciclos completos no intervalo de
![Gráfico de f(x) = sen(2x)](https://i.imgur.com/yourgraphlink.png)
Nota: Imagine um gráfico de seno com duas oscilações completas entre 0 e
Resposta
Domínio:
, Imagem:
, Amplitude: 1, Período:
, Assíntotas: não existem, Intervalos de positividade:
e
. O gráfico de no intervalo
é uma curva senoidal com duas oscilações completas entre 0 e
.
Exercícios relacionados
Determine as derivadas das seguintes funções.
(a) .
(a)
Calcule domínio, imagem, amplitude, período, assíntotas, intervalos de positividade, e esboce o gráfico no intervalo
:
(e)
(e)