Obtenha uma série de potência de $x$ para representar cada função e determine o intervalo que em que isso ocorre. Sugestão: $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n} ;|x|<1$ $\frac{x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}$ Resp. f) $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1} n x^{2 n-1} \quad ;|x|<1$

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Precisamos encontrar uma **série de potência em \( x \)** que represente a função \( \frac{x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \) e determinar para quais valores de \( x \) essa série converge. Para isso, vamos utilizar o conceito de **série geométrica** e suas derivadas.

Passo 2

Lembrando da série geométrica básica: \[ \frac{1}{1 - z} = \sum_{n=0}^{\infty} z^{n} \quad \text{para } |z| < 1 \] Aqui, \( z \) é a variável da nossa série. No nosso caso, queremos manipular a função \( \frac{1}{\left(1 + x^{2}\right)^{2}} \), que é similar à série geométrica, mas com algumas diferenças.

Passo 3

Primeiro, vamos considerar a função \( \frac{1}{1 + x^{2}} \). Podemos reescrever isso como: \[ \frac{1}{1 - (-x^{2})} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^{2})^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} x^{2n} \quad \text{para } |x^{2}| < 1 \Rightarrow |x| < 1 \] Portanto, temos a série para \( \frac{1}{1 + x^{2}} \).

Passo 4

Agora, queremos encontrar a série para \( \frac{1}{(1 + x^{2})^{2}} \). Para isso, derivamos a série que encontramos no passo anterior em relação a \( x \): \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{1 + x^{2}} \right) = \frac{d}{dx} \left( \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} x^{2n} \right) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \cdot 2n \cdot x^{2n -1} \] Simplificando, temos: \[ \frac{-2x}{(1 + x^{2})^{2}} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} 2n x^{2n -1} \]

Passo 5

Queremos a expressão para \( \frac{x}{(1 + x^{2})^{2}} \). Observando a equação do passo anterior, podemos isolar \( \frac{x}{(1 + x^{2})^{2}} \): \[ \frac{x}{(1 + x^{2})^{2}} = -\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} 2n x^{2n -1} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n +1} n x^{2n -1} \]

Resposta

\[ \frac{x}{\left(1 + x^{2}\right)^{2}} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1} n x^{2n -1} \quad ; \quad |x| < 1 \]

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