Calcule domínio, imagem, amplitude, período, assíntotas, intervalos de positividade, e esboce o gráfico no intervalo :
(e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a função no intervalo . A matéria que vamos usar aqui é trigonometria, especificamente sobre funções trigonométricas e suas propriedades. Vamos precisar entender o que são domínio, imagem, amplitude, período, assíntotas, intervalos de positividade e como esboçar o gráfico dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função . O domínio são todos os valores de onde a função está definida. Sabemos que , então a função não está definida quando .

Passo 3

Encontramos onde no intervalo . Isso ocorre em . Portanto, o domínio de é todos os números reais exceto esses pontos:
í

Passo 4

Agora, vamos para a imagem da função. A cotangente pode assumir todos os valores reais, pois varia de positivo ao infinito até negativo ao infinito nos intervalos onde está definida. Assim:

Passo 5

A amplitude normalmente se aplica a funções periódicas como seno e cosseno, que têm amplitudes limitadas. No caso da cotangente, ela não tem amplitude finita porque seus valores não estão limitados. Então:
ãá

Passo 6

Vamos determinar o período da função . O período é o intervalo após o qual a função se repete. Sabemos que tem período , ou seja, a cada radianos, a função repete seu padrão:
í

Passo 7

As assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca. Para , as assíntotas verticais ocorrem onde a função não está definida, que são nos pontos onde :
í

Passo 8

Vamos identificar os intervalos de positividade da função. A cotangente é positiva onde e têm o mesmo sinal. No intervalo , . Então:
  • Em : e
  • Em : e
No intervalo , :
  • Em : e
  • Em : e

Passo 9

Por último, vamos esboçar o gráfico da função no intervalo :
  • No intervalo , a função começa em perto de 0, cruza o eixo em (onde ), e vai para perto de .
  • No intervalo , a função começa em perto de , cruza o eixo em (onde ), e vai para perto de .
As assíntotas verticais estão em . A curva é simétrica em relação ao período .

Resposta

íãáííá

Exercícios relacionados

Calcule domínio, imagem, amplitude, período, assíntotas, intervalos de positividade, e esboce o gráfico no intervalo :
(a)
Dada , achar as pre-imagens em cada caso:
(d)
Utilize a definição geral de derivada e os resultados dos exercícios 2 e 4 para obter as derivadas das seguintes funções:
© .