Calcule domínio, imagem, amplitude, período, assíntotas, intervalos de positividade, e esboce o gráfico no intervalo
:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a função
no intervalo
. A matéria que vamos usar aqui é trigonometria, especificamente sobre funções trigonométricas e suas propriedades. Vamos precisar entender o que são domínio, imagem, amplitude, período, assíntotas, intervalos de positividade e como esboçar o gráfico dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função
. O domínio são todos os valores de
onde a função está definida. Sabemos que
, então a função não está definida quando
.
Passo 3
Encontramos onde
no intervalo
. Isso ocorre em
. Portanto, o domínio de
é todos os números reais exceto esses pontos:
Passo 4
Agora, vamos para a imagem da função. A cotangente pode assumir todos os valores reais, pois
varia de positivo ao infinito até negativo ao infinito nos intervalos onde está definida. Assim:
Passo 5
A amplitude normalmente se aplica a funções periódicas como seno e cosseno, que têm amplitudes limitadas. No caso da cotangente, ela não tem amplitude finita porque seus valores não estão limitados. Então:
Passo 6
Vamos determinar o período da função
. O período é o intervalo após o qual a função se repete. Sabemos que
tem período
, ou seja, a cada
radianos, a função repete seu padrão:
Passo 7
As assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca. Para
, as assíntotas verticais ocorrem onde a função não está definida, que são nos pontos onde
:
Passo 8
Vamos identificar os intervalos de positividade da função. A cotangente é positiva onde
e
têm o mesmo sinal. No intervalo
,
. Então:
- Em
: e ⇒ - Em
: e ⇒
No intervalo
,
:
- Em
: e ⇒ - Em
: e ⇒
Passo 9
Por último, vamos esboçar o gráfico da função
no intervalo
:
- No intervalo
, a função começa em perto de 0, cruza o eixo em (onde ), e vai para perto de . - No intervalo
, a função começa em perto de , cruza o eixo em (onde ), e vai para perto de .
As assíntotas verticais estão em
. A curva é simétrica em relação ao período
.