Calcule domínio, imagem, amplitude, período, assíntotas, intervalos de positividade, e esboce o gráfico no intervalo :
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a função no intervalo . A matéria que vamos usar aqui é trigonometria, especificamente sobre funções trigonométricas e suas propriedades. Vamos precisar entender o que são domínio, imagem, amplitude, período, assíntotas, intervalos de positividade e como esboçar o gráfico dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função . O domínio são todos os valores de onde a função está definida. Sabemos que , então a função não está definida quando .
Passo 3
Encontramos onde no intervalo . Isso ocorre em . Portanto, o domínio de é todos os números reais exceto esses pontos:
Passo 4
Agora, vamos para a imagem da função. A cotangente pode assumir todos os valores reais, pois varia de positivo ao infinito até negativo ao infinito nos intervalos onde está definida. Assim:
Passo 5
A amplitude normalmente se aplica a funções periódicas como seno e cosseno, que têm amplitudes limitadas. No caso da cotangente, ela não tem amplitude finita porque seus valores não estão limitados. Então:
Passo 6
Vamos determinar o período da função . O período é o intervalo após o qual a função se repete. Sabemos que tem período , ou seja, a cada radianos, a função repete seu padrão:
Passo 7
As assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca. Para , as assíntotas verticais ocorrem onde a função não está definida, que são nos pontos onde :
Passo 8
Vamos identificar os intervalos de positividade da função. A cotangente é positiva onde e têm o mesmo sinal. No intervalo , . Então:
Em : e ⇒
Em : e ⇒
No intervalo , :
Em : e ⇒
Em : e ⇒
Passo 9
Por último, vamos esboçar o gráfico da função no intervalo :
No intervalo , a função começa em perto de 0, cruza o eixo em (onde ), e vai para perto de .
No intervalo , a função começa em perto de , cruza o eixo em (onde ), e vai para perto de .
As assíntotas verticais estão em . A curva é simétrica em relação ao período .