Utilize a definição geral de derivada e os resultados dos exercícios 2 e 4 para obter as derivadas das seguintes funções:
© f(x) = tan(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função usando a definição geral de derivada e os resultados dos exercícios anteriores. Basicamente, vamos precisar entender como calcular a derivada passo a passo e aplicar o que aprendemos antes para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a definição geral de derivada. A derivada de uma função em um ponto é o limite do quociente da diferença quando tende a zero:
Isso nos dá a taxa de variação instantânea da função naquele ponto.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição para . Substituindo na fórmula, temos:

Passo 4

Agora, precisamos simplificar a expressão . Para isso, usamos a fórmula da tangente da soma:
Aplicando essa fórmula, com e :

Passo 5

Substituindo de volta na express��o da derivada:
Vamos simplificar o numerador:
Simplificando mais:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na derivada:
Podemos separar os limites:

Passo 7

Sabemos que:
E:

Passo 8

Então, finalmente temos:
E, lembrando que , podemos escrever:

Resposta

A derivada de é .

Exercícios relacionados