Utilize a definição geral de derivada e os resultados dos exercícios 2 e 4 para obter as derivadas das seguintes funções:
©
.
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função
usando a definição geral de derivada e os resultados dos exercícios anteriores. Basicamente, vamos precisar entender como calcular a derivada passo a passo e aplicar o que aprendemos antes para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a definição geral de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é o limite do quociente da diferença quando
tende a zero:
Isso nos dá a taxa de variação instantânea da função naquele ponto.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição para
. Substituindo na fórmula, temos:
Passo 4
Agora, precisamos simplificar a expressão
. Para isso, usamos a fórmula da tangente da soma:
Aplicando essa fórmula, com
e
:
Passo 5
Substituindo de volta na express��o da derivada:
Vamos simplificar o numerador:
Simplificando mais:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na derivada:
Podemos separar os limites:
Passo 7
Sabemos que:
E:
Passo 8
Então, finalmente temos:
E, lembrando que
, podemos escrever:
Resposta
A derivada de
é
.
Exercícios relacionados
Dada
, achar as pre-imagens
em cada caso:
(d)
(d)
Calcule domínio, imagem, amplitude, período, assíntotas, intervalos de positividade, e esboce o gráfico no intervalo
:
(e)
(e)
© Determine o raio de um setor circular com ângulo
e comprimento de arco 6 .
Determine as anti-derivadas (primitivas) das seguintes funções.
(e) .
(e)