Utilize a definição geral de derivada e os resultados dos exercícios 2 e 4 para obter as derivadas das seguintes funções:
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.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função
usando a definição geral de derivada e os resultados dos exercícios anteriores. Basicamente, vamos precisar entender como calcular a derivada passo a passo e aplicar o que aprendemos antes para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a definição geral de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é o limite do quociente da diferença quando
tende a zero:
Isso nos dá a taxa de variação instantânea da função naquele ponto.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição para
. Substituindo na fórmula, temos:
Passo 4
Agora, precisamos simplificar a expressão
. Para isso, usamos a fórmula da tangente da soma:
Aplicando essa fórmula, com
e
:
Passo 5
Substituindo de volta na express��o da derivada:
Vamos simplificar o numerador:
Simplificando mais:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na derivada:
Podemos separar os limites:
Passo 7
Sabemos que:
E:
Passo 8
Então, finalmente temos:
E, lembrando que
, podemos escrever:
Resposta
A derivada de
é
.