Calcule domínio, imagem, amplitude, período, assíntotas, intervalos de positividade, e esboce o gráfico no intervalo :
(d)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função . Precisamos calcular o domínio, imagem, amplitude, período, assíntotas, intervalos onde a função é positiva e esboçar o gráfico no intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas, valor absoluto e análise de gráficos.

Passo 2

Dominio: A função está definida para todos os números reais. Como aplicamos o valor absoluto e subtraímos , o domínio da função também será todos os números reais, ou seja, .

Passo 3

Imagem: Para encontrar a imagem, precisamos ver os valores que pode assumir. Sabemos que varia entre 0 e 1. Então:
Subtraindo de cada parte:
Portanto, a imagem de é o intervalo .

Passo 4

Amplitude: A amplitude é a metade da diferença entre o valor máximo e mínimo da função. Já vimos que a imagem varia de a , então:

Passo 5

Período: A função tem período . Como aplicamos o valor absoluto, a função tem período . Portanto, a função também tem período .

Passo 6

Assíntotas: As assíntotas são retas que a função se aproxima quando tende a certos valores. Para , não há valores de que tornem a função indefinida ou que levem a valores infinitos, portanto, não há assíntotas.

Passo 7

Intervalos de Positividade: Vamos resolver :
Isso ocorre quando ou . Analisando no intervalo :
  • em e .
  • em .
    Portanto, nesses intervalos.

Passo 8

Esboço do Gráfico no Intervalo :
  • A função cria uma forma de “ondas” positivas.
  • Subtraindo , a onda é deslocada para baixo.
  • A função oscila entre e com períodos de .
  • Pontos importantes: , , e assim por diante.
  • O gráfico terá picos máximos de em múltiplos de e mínimos de em múltiplos de que não sejam múltiplos de .

Resposta

  • Dominio:
  • Imagem:
  • Amplitude:
  • Período:
  • Assíntotas: Não possui
  • Intervalos de Positividade: , ,
  • Esboço do Gráfico: Conforme descrito no Passo 8.

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(e)
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©
Calcule os seguintes valores:
(f)