Calcule domínio, imagem, amplitude, período, assíntotas, intervalos de positividade, e esboce o gráfico no intervalo
:
(d)
(d)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
. Precisamos calcular o domínio, imagem, amplitude, período, assíntotas, intervalos onde a função é positiva e esboçar o gráfico no intervalo
. Para isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas, valor absoluto e análise de gráficos.
Passo 2
Dominio: A função
está definida para todos os números reais. Como aplicamos o valor absoluto e subtraímos
, o domínio da função
também será todos os números reais, ou seja,
.
Passo 3
Imagem: Para encontrar a imagem, precisamos ver os valores que
pode assumir. Sabemos que
varia entre 0 e 1. Então:
Subtraindo
de cada parte:
Portanto, a imagem de
é o intervalo
.
Passo 4
Amplitude: A amplitude é a metade da diferença entre o valor máximo e mínimo da função. Já vimos que a imagem varia de
a
, então:
Passo 5
Período: A função
tem período
. Como aplicamos o valor absoluto, a função
tem período
. Portanto, a função
também tem período
.
Passo 6
Assíntotas: As assíntotas são retas que a função se aproxima quando
tende a certos valores. Para
, não há valores de
que tornem a função indefinida ou que levem a valores infinitos, portanto, não há assíntotas.
Passo 7
Intervalos de Positividade: Vamos resolver
:
Isso ocorre quando
ou
. Analisando no intervalo
:
-
em e . -
em .
Portanto,nesses intervalos.
Passo 8
Esboço do Gráfico no Intervalo
:
- A função
cria uma forma de “ondas” positivas. - Subtraindo
, a onda é deslocada para baixo. - A função oscila entre
e com períodos de . - Pontos importantes:
, , e assim por diante. - O gráfico terá picos máximos de
em múltiplos de e mínimos de em múltiplos de que não sejam múltiplos de .
Resposta
- Dominio:
- Imagem:
- Amplitude:
- Período:
- Assíntotas: Não possui
- Intervalos de Positividade:
, , - Esboço do Gráfico: Conforme descrito no Passo 8.
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(e)
(e)
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Dada
, achar as pre-imagens
em cada caso:
©
©
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(f)
(f)