Dada f:[0,2 pi] -> R, f(x)=|1/2 + sen(x)|, achar as pre-imagens f^(-1)(t) em cada caso:
© t = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função definida no intervalo . O que queremos encontrar são os valores de que fazem , ou seja, as pre-imagens . Para isso, vamos precisar usar propriedades da função seno e entender como manipular expressões com valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que precisamos resolver:
Isso significa que a expressão dentro do valor absoluto pode ser igual a 1 ou a -1. Então, temos duas equações para resolver:

Passo 3

Vamos resolver a primeira equação:
Subtraindo de ambos os lados:
Agora, sabemos que o seno de é igual a nos ângulos:
Esses são os pontos no intervalo onde .

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda equação:
Subtraindo de ambos os lados:
Mas atenção! O valor do seno de só pode ficar entre -1 e 1. Como está fora desse intervalo, não existe nenhum que satisfaça essa equação no nosso intervalo de interesse.

Resposta

Então, as pre-imagens de para são:

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