Calcule domínio, imagem, amplitude, período, assíntotas, intervalos de positividade, e esboce o gráfico no intervalo :
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente calcular várias coisas sobre a função . A gente vai precisar entender conceitos como domínio, imagem, amplitude, período, assíntotas, intervalos de positividade e, por fim, desenhar o gráfico dessa função no intervalo de . Vamos por partes!

Passo 2

Dominio: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso da função , a função seno está definida para todos os números reais. Então, o domínio é , ou seja, todos os números reais.

Passo 3

Imagem: A imagem é o conjunto de possíveis valores que a função pode assumir. Sabemos que a função seno varia entre -1 e 1. Como temos , vamos subtrair 1 de todos esses valores:
Então, a imagem da função é o intervalo .

Passo 4

Amplitude: A amplitude mede o quanto a função oscila em relação ao seu valor médio. Para a função , a amplitude é 1. Como subtraímos 1, a amplitude continua sendo 1, pois a amplitude não muda quando adicionamos ou subtraímos uma constante.

Passo 5

Período: O período de uma função seno padrão é . Quando a função é , o período muda. A fórmula para o período é:
Onde é o coeficiente de . Aqui, , então:
Então, o período da função é .

Passo 6

Assíntotas: Assíntotas são linhas que a função se aproxima, mas nunca toca. No caso da função , que é uma função trigonométrica senoidal, não há assíntotas horizontais, verticais ou oblíquas, pois a função está sempre limitada entre -2 e 0.

Passo 7

Intervalos de positividade: Vamos encontrar onde a função é positiva, ou seja, onde .
Mas sabemos que o seno nunca é maior que 1. Portanto, não existem valores de onde a função é positiva.
Intervalos de negatividade: Já que a função nunca é positiva e sua imagem vai até -2, podemos dizer que a função é sempre negativa ou nula.

Passo 8

Esboço do Gráfico: Vamos desenhar o gráfico de no intervalo .
  1. Transformação Vertical: Subtraindo 1, todo o gráfico da função seno é deslocado 1 unidade para baixo.
  2. Período: O período é , mas nosso intervalo é , então completaremos metade de um ciclo da função.
  3. Amplitude e Imagem: A função varia de -2 a 0.
  4. Pontos Importantes:
    • Em :
    • Em :
    • Em :
O gráfico começa em (-1), sobe até 0 em e volta a -1 em .

Resposta

A função possui:
  • Domínio: (todos os números reais)
  • Imagem:
  • Amplitude: 1
  • Período:
  • Assíntotas: Não possui assíntotas
  • Intervalos de Positividade: Nenhum
  • Gráfico: Um ciclo da função seno deslocado 1 unidade para baixo, iniciando em em , alcançando 0 em e retornando a em .

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Calcule os seguintes valores:
(f)
Dada , achar as pre-imagens em cada caso:
©
Dada , achar as pre-imagens em cada caso:
(b)
Calcule todas as derivadas parciais das funções dadas.
a)