Calcule domínio, imagem, amplitude, período, assíntotas, intervalos de positividade, e esboce o gráfico no intervalo
:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente calcular várias coisas sobre a função
. A gente vai precisar entender conceitos como domínio, imagem, amplitude, período, assíntotas, intervalos de positividade e, por fim, desenhar o gráfico dessa função no intervalo de
. Vamos por partes!
Passo 2
Dominio: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. No caso da função
, a função seno está definida para todos os números reais. Então, o domínio é
, ou seja, todos os números reais.
Passo 3
Imagem: A imagem é o conjunto de possíveis valores que a função pode assumir. Sabemos que a função seno varia entre -1 e 1. Como temos
, vamos subtrair 1 de todos esses valores:
Então, a imagem da função é o intervalo
.
Passo 4
Amplitude: A amplitude mede o quanto a função oscila em relação ao seu valor médio. Para a função
, a amplitude é 1. Como subtraímos 1, a amplitude continua sendo 1, pois a amplitude não muda quando adicionamos ou subtraímos uma constante.
Passo 5
Período: O período de uma função seno padrão
é
. Quando a função é
, o período muda. A fórmula para o período é:
Onde
é o coeficiente de
. Aqui,
, então:
Então, o período da função é
.
Passo 6
Assíntotas: Assíntotas são linhas que a função se aproxima, mas nunca toca. No caso da função
, que é uma função trigonométrica senoidal, não há assíntotas horizontais, verticais ou oblíquas, pois a função está sempre limitada entre -2 e 0.
Passo 7
Intervalos de positividade: Vamos encontrar onde a função é positiva, ou seja, onde
.
Mas sabemos que o seno nunca é maior que 1. Portanto, não existem valores de
onde a função é positiva.
Intervalos de negatividade: Já que a função nunca é positiva e sua imagem vai até -2, podemos dizer que a função é sempre negativa ou nula.
Passo 8
Esboço do Gráfico: Vamos desenhar o gráfico de
no intervalo
.
- Transformação Vertical: Subtraindo 1, todo o gráfico da função seno é deslocado 1 unidade para baixo.
- Período: O período é
, mas nosso intervalo é , então completaremos metade de um ciclo da função. - Amplitude e Imagem: A função varia de -2 a 0.
- Pontos Importantes:
- Em
: - Em
: - Em
:
- Em
O gráfico começa em (-1), sobe até 0 em
e volta a -1 em
.
Resposta
A função
possui:
- Domínio:
(todos os números reais) - Imagem:
- Amplitude: 1
- Período:
- Assíntotas: Não possui assíntotas
- Intervalos de Positividade: Nenhum
- Gráfico: Um ciclo da função seno deslocado 1 unidade para baixo, iniciando em
em , alcançando 0 em e retornando a em .
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes valores:
(f)
(f)
Dada
, achar as pre-imagens
em cada caso:
©
©
Dada
, achar as pre-imagens
em cada caso:
(b)
(b)
Calcule todas as derivadas parciais das funções dadas.
a)
a)