Calcule o domínio e a imagem de cada função. Quando for inversível, calcule a inversa, e faça o esboços dos gráficos de
e
num mesmo sistema de eixos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o domínio e a imagem da função
. Além disso, se a função for inversível, precisamos encontrar a inversa dela e desenhar os gráficos de
e
no mesmo sistema de eixos. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções lineares, domínio e imagem, além de como calcular a função inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. No caso das funções lineares, como essa, não há nenhuma restrição de valores que
pode assumir. Ou seja, podemos escolher qualquer número real para
.
Então, o domínio de
é:
Isso significa que
pode ser qualquer número real.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função
. A imagem representa todos os possíveis valores de
que a função pode assumir quando
varia dentro do domínio.
Como
é uma função linear que não é constante (o coeficiente de
é diferente de zero), para qualquer valor real de
,
também será um número real diferente. Portanto, a imagem também abrange todos os números reais.
Assim, a imagem de
é:
Passo 4
Vamos verificar se a função
é inversível. Uma função é inversível se ela for bijetora, ou seja, se for injetora (não repete valores) e sobrejetora (cobre todo o conjunto de chegada).
Como vimos, o domínio e a imagem de
são todos os números reais. Além disso, como
é uma função linear com coeficiente diferente de zero, ela é estritamente crescente e, portanto, injetora. E como a imagem é todo o conjunto dos números reais, ela também é sobrejetora. Portanto,
é bijetora e, consequentemente, inversível.
Passo 5
Vamos calcular a função inversa de
, que chamaremos de
.
Para encontrar a inversa, seguimos os passos:
- Substituímos
por : - Troca-se
e : - Resolve-se para
:
Então, a função inversa é:
Passo 6
Por fim, vamos esboçar os gráficos de
e
no mesmo sistema de eixos.
Sabemos que o gráfico de uma função linear é uma reta. A função inversa
é a reflexão da função original
em relação à reta
. Isso significa que os gráficos serão simétricos em relação a essa reta.
No entanto, como estamos apenas descrevendo aqui, você pode desenhar as duas retas considerando que elas se refletem uma à outra em torno da reta
.
Resposta
- Domínio de
: - Imagem de
: - Função inversa:
Exercícios relacionados
O volume molar
de um gás ideal é dado pela fórmula
onde
é a temperatura,
a pressão e
uma constante. Ache uma expressão para
e para
.
Para determinar a distância
sobre uma pequena enseada, um ponto
é colocado sobre a costa, de jeito que as seguintes medidas são registradas:
Use a lei dos cossenos para calcular a distância pedida.
Para
, calcule os seguintes valores:
Para
, calcule os seguintes valores: