Calcule o domínio e a imagem de cada função. Quando for inversível, calcule a inversa, e faça o esboços dos gráficos de e num mesmo sistema de eixos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o domínio e a imagem da função . Além disso, se a função for inversível, precisamos encontrar a inversa dela e desenhar os gráficos de e no mesmo sistema de eixos. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções lineares, domínio e imagem, além de como calcular a função inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso das funções lineares, como essa, não há nenhuma restrição de valores que pode assumir. Ou seja, podemos escolher qualquer número real para .
Então, o domínio de é:
í
Isso significa que pode ser qualquer número real.

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função . A imagem representa todos os possíveis valores de que a função pode assumir quando varia dentro do domínio.
Como é uma função linear que não é constante (o coeficiente de é diferente de zero), para qualquer valor real de , também será um número real diferente. Portanto, a imagem também abrange todos os números reais.
Assim, a imagem de é:

Passo 4

Vamos verificar se a função é inversível. Uma função é inversível se ela for bijetora, ou seja, se for injetora (não repete valores) e sobrejetora (cobre todo o conjunto de chegada).
Como vimos, o domínio e a imagem de são todos os números reais. Além disso, como é uma função linear com coeficiente diferente de zero, ela é estritamente crescente e, portanto, injetora. E como a imagem é todo o conjunto dos números reais, ela também é sobrejetora. Portanto, é bijetora e, consequentemente, inversível.

Passo 5

Vamos calcular a função inversa de , que chamaremos de .
Para encontrar a inversa, seguimos os passos:
  1. Substituímos por :
  2. Troca-se e :
  3. Resolve-se para :
Então, a função inversa é:

Passo 6

Por fim, vamos esboçar os gráficos de e no mesmo sistema de eixos.
Sabemos que o gráfico de uma função linear é uma reta. A função inversa é a reflexão da função original em relação à reta . Isso significa que os gráficos serão simétricos em relação a essa reta.
No entanto, como estamos apenas descrevendo aqui, você pode desenhar as duas retas considerando que elas se refletem uma à outra em torno da reta .

Resposta

  • Domínio de :
  • Imagem de :
  • Função inversa:

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