Para , calcule os seguintes valores:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcularmos sabendo que . Esse problema está dentro do conteúdo de funções trigonométricas inversas e relações trigonométricas básicas. Para resolver, vamos precisar entender o que é a função , construir um triângulo retângulo que representa essa função e usar as identidades trigonométricas para encontrar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . A função é a função inversa da , ou seja:
Isso significa que o seno de é o inverso da :

Passo 3

Agora, vamos imaginar um triângulo retângulo onde o ângulo tem um seno de . O seno é definido como a razão entre o lado oposto ao ângulo e a hipotenusa.
Como o seno é negativo, sabemos que o ângulo está no quadrante III ou IV (onde o seno é negativo). Porém, a função geralmente retorna valores de ângulos que estão no primeiro ou quarto quadrante para evitar ambiguidades.
Vamos construir o triângulo:
  • Lado oposto (opposite): (o sinal negativo indica a direção, mas usaremos valor absoluto para o triângulo)
  • Hipotenusa (hypotenuse):

Passo 4

Com esses valores, podemos encontrar o lado adjacente (adjacent) usando o teorema de Pitágoras:

Passo 5

Agora que temos todos os lados do triângulo, podemos encontrar . A tangente de um ângulo é a razão entre o lado oposto e o lado adjacente:

Passo 6

Para simplificar a expressão e racionalizar o denominador, multiplicamos o numerador e o denominador por :

Resposta

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Para , calcule os seguintes valores:
Calcule o domínio e a imagem de cada função. Quando for inversível, calcule a inversa, e faça o esboços dos gráficos de e num mesmo sistema de eixos.
Prove que e faça o gráfico dessa função.
Expresse a quantidade dada como um único logaritmo: