Para
, calcule os seguintes valores:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcularmos
sabendo que
. Esse problema está dentro do conteúdo de funções trigonométricas inversas e relações trigonométricas básicas. Para resolver, vamos precisar entender o que é a função
, construir um triângulo retângulo que representa essa função e usar as identidades trigonométricas para encontrar o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. A função
é a função inversa da
, ou seja:
Isso significa que o seno de
é o inverso da
:
Passo 3
Agora, vamos imaginar um triângulo retângulo onde o ângulo
tem um seno de
. O seno é definido como a razão entre o lado oposto ao ângulo e a hipotenusa.
Como o seno é negativo, sabemos que o ângulo
está no quadrante III ou IV (onde o seno é negativo). Porém, a função
geralmente retorna valores de ângulos que estão no primeiro ou quarto quadrante para evitar ambiguidades.
Vamos construir o triângulo:
- Lado oposto (opposite):
(o sinal negativo indica a direção, mas usaremos valor absoluto para o triângulo) - Hipotenusa (hypotenuse):
Passo 4
Com esses valores, podemos encontrar o lado adjacente (adjacent) usando o teorema de Pitágoras:
Passo 5
Agora que temos todos os lados do triângulo, podemos encontrar
. A tangente de um ângulo é a razão entre o lado oposto e o lado adjacente:
Passo 6
Para simplificar a expressão e racionalizar o denominador, multiplicamos o numerador e o denominador por
:
Resposta
Exercícios relacionados
Para
, calcule os seguintes valores:
Calcule o domínio e a imagem de cada função. Quando for inversível, calcule a inversa, e faça o esboços dos gráficos de
e
num mesmo sistema de eixos.
Prove que
e faça o gráfico dessa função.
Expresse a quantidade dada como um único logaritmo: