O volume molar Vm de um gás ideal é dado pela fórmula Vm=R TP onde T é a temperatura, P a pressão e R uma constante. Ache uma expressão para (partial Vmpartial T)P e para (partial Vmpartial P)T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para gente encontrar duas derivadas parciais do volume molar ( Vm) de um gás ideal. A fórmula que a gente tem é Vm = R TP, onde R é a constante dos gases, T é a temperatura e P é a pressão. A gente precisa descobrir (partial Vmpartial T)P, que é a derivada de Vm em relação à temperatura mantendo a pressão constante, e (partial Vmpartial P)T, que é a derivada de Vm em relação à pressão mantendo a temperatura constante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Em funções de várias variáveis, a derivada parcial mede como a função muda quando a gente varia apenas uma dessas variáveis, mantendo as outras constantes. No nosso caso, queremos ver como Vm muda quando só a temperatura ( T) muda, mantendo a pressão ( P) fixa, e vice-versa.

Passo 3

Vamos calcular (partial Vmpartial T)P. Olhando para a fórmula Vm = R TP, percebemos que R e P são constantes enquanto T varia. Então, derivar Vm em relação a T é como derivar uma função linear.
A derivada de Vm em relação a T é:
partial Vmpartial T = RP
Isso porque a derivada de T em relação a T é 1, e R/P é só uma constante multiplicando T.

Passo 4

Agora, vamos calcular (partial Vmpartial P)T. De novo, usando a fórmula Vm = R TP, mas dessa vez mantemos T constante e queremos derivar em relação a P.
Aqui, a função está na forma de K/P, onde K = R T é uma constante. A derivada de 1/P em relação a P é -1/P^2, então multiplicando pela constante K temos:
partial Vmpartial P = -R TP^2

Resposta

Portanto, as expressões das derivadas parciais são:
(partial Vmpartial T)P = RP
e
(partial Vmpartial P)T = -R TP^2

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