O volume molar
de um gás ideal é dado pela fórmula
onde
é a temperatura,
a pressão e
uma constante. Ache uma expressão para
e para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para gente encontrar duas derivadas parciais do volume molar (
) de um gás ideal. A fórmula que a gente tem é
, onde
é a constante dos gases,
é a temperatura e
é a pressão. A gente precisa descobrir
, que é a derivada de
em relação à temperatura mantendo a pressão constante, e
, que é a derivada de
em relação à pressão mantendo a temperatura constante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Em funções de várias variáveis, a derivada parcial mede como a função muda quando a gente varia apenas uma dessas variáveis, mantendo as outras constantes. No nosso caso, queremos ver como
muda quando só a temperatura (
) muda, mantendo a pressão (
) fixa, e vice-versa.
Passo 3
Vamos calcular
. Olhando para a fórmula
, percebemos que
e
são constantes enquanto
varia. Então, derivar
em relação a
é como derivar uma função linear.
A derivada de
em relação a
é:
Isso porque a derivada de
em relação a
é 1, e
é só uma constante multiplicando
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
. De novo, usando a fórmula
, mas dessa vez mantemos
constante e queremos derivar em relação a
.
Aqui, a função está na forma de
, onde
é uma constante. A derivada de
em relação a
é
, então multiplicando pela constante
temos:
Resposta
Portanto, as expressões das derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
Para determinar a distância
sobre uma pequena enseada, um ponto
é colocado sobre a costa, de jeito que as seguintes medidas são registradas:
Use a lei dos cossenos para calcular a distância pedida.
Calcule todas as derivadas parciais das funções dadas.
j)
j)
Calcule o domínio e a imagem de cada função. Quando for inversível, calcule a inversa, e faça o esboços dos gráficos de
e
num mesmo sistema de eixos.
Para
, calcule os seguintes valores: