O volume molar de um gás ideal é dado pela fórmula onde é a temperatura, a pressão e uma constante. Ache uma expressão para e para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para gente encontrar duas derivadas parciais do volume molar ( ) de um gás ideal. A fórmula que a gente tem é , onde é a constante dos gases, é a temperatura e é a pressão. A gente precisa descobrir , que é a derivada de em relação à temperatura mantendo a pressão constante, e , que é a derivada de em relação à pressão mantendo a temperatura constante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Em funções de várias variáveis, a derivada parcial mede como a função muda quando a gente varia apenas uma dessas variáveis, mantendo as outras constantes. No nosso caso, queremos ver como muda quando só a temperatura ( ) muda, mantendo a pressão ( ) fixa, e vice-versa.

Passo 3

Vamos calcular . Olhando para a fórmula , percebemos que e são constantes enquanto varia. Então, derivar em relação a é como derivar uma função linear.
A derivada de em relação a é:
Isso porque a derivada de em relação a é 1, e é só uma constante multiplicando .

Passo 4

Agora, vamos calcular . De novo, usando a fórmula , mas dessa vez mantemos constante e queremos derivar em relação a .
Aqui, a função está na forma de , onde é uma constante. A derivada de em relação a é , então multiplicando pela constante temos:

Resposta

Portanto, as expressões das derivadas parciais são:
e

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Para determinar a distância sobre uma pequena enseada, um ponto é colocado sobre a costa, de jeito que as seguintes medidas são registradas:
Use a lei dos cossenos para calcular a distância pedida.
Calcule todas as derivadas parciais das funções dadas.
j)
Calcule o domínio e a imagem de cada função. Quando for inversível, calcule a inversa, e faça o esboços dos gráficos de e num mesmo sistema de eixos.
Para , calcule os seguintes valores: