Verifique se cada uma das funções abaixo são inversíveis em seus respectivos domínios e em caso afirmativo, determine a função inversa.
(a)
(d)
(b)
(e)
©
(a)
(d)
(b)
(e)
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para verificar se cada uma das funções dadas é inversível no seu respectivo domínio e, se for o caso, encontrar a função inversa. O conteúdo aqui é sobre funções inversas, que são funções que “desfazem” o que a função original faz. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a inversa de uma função e verificar se a função é uma bijeção (ou seja, injetora e sobrejetora) no seu domínio, o que garante que ela tenha uma inversa.
Passo 2
Vamos começar com a função (a)
.
Para saber se essa função é inversível, verificamos se ela é estritamente crescente ou decrescente, o que significa que ela passa no teste da linha horizontal e é injetora. Como a inclinação é 2 (positiva), a função é crescente e, portanto, inversível.
Agora, para encontrar a inversa, vamos seguir esses passos:
- Trocar
por : - Trocar
e : - Isolar
:
Então, a função inversa é
.
Passo 3
Agora, vamos para a função (b)
.
Primeiro, verificamos se essa função é inversível no seu domínio. O domínio dessa função é
. A função é estritamente decrescente nesse intervalo, então é injetora e, portanto, inversível.
Para encontrar a inversa:
- Trocar
por : - Trocar
e : - Isolar
:
Interessante, a função inversa é ela mesma:
.
Passo 4
Vamos para a função ©
.
Primeiro, determinamos o domínio dessa função:
. A função é decrescente nesse domínio, então é injetora e inversível.
Para achar a inversa:
- Trocar
por : - Trocar
e : - Isolar
:
Então, a função inversa é
.
Passo 5
Agora, a função (d)
.
Primeiro, identificamos o domínio:
. Para verificar se é inversível, analisamos se a função é injetora. Calculando a derivada, vemos que a função é estritamente crescente ou decrescente, o que indica que é injetora e, portanto, inversível.
Para encontrar a inversa:
- Trocar
por : - Trocar
e : - Isolar
:
Multiplicando ambos os lados por: Reagrupando os termos com :
Então, a função inversa é
.
Passo 6
Por fim, a função (e)
.
Primeiro, pensamos no domínio. Se o domínio for todos os números reais, a função não é inversível porque não é injetora (por exemplo,
). Porém, se restringirmos o domínio a
ou
, ela se torna injetora e inversível.
Assumindo que o domínio é
:
- Trocar
por : - Trocar
e : - Isolar
:
Então, a função inversa é
, válida para
.
Resposta
Todas as funções são inversíveis nos seus respectivos domínios, e suas inversas são:
a)
b)
c)
d)
e)
(válida para
)
Exercícios relacionados
Determine o domínio das seguintes funções:
(a)
(e)
(b)
(f)
©
(g)
(d)
(h)
(a)
(e)
(b)
(f)
©
(g)
(d)
(h)
Calcule o domínio e a imagem de cada função. Quando for inversível, calcule a inversa, e faça o esboços dos gráficos de
e
num mesmo sistema de eixos.
Encontre o volume do sólido
limitado pelos planos
e pelo cilindro parabólico
.
Calcule:
(a)
(d)
(b)
(e)
©
(f)
(a)
(d)
(b)
(e)
©
(f)