Verifique se cada uma das funções abaixo são inversíveis em seus respectivos domínios e em caso afirmativo, determine a função inversa.
(a)
(d)
(b)
(e)
©

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para verificar se cada uma das funções dadas é inversível no seu respectivo domínio e, se for o caso, encontrar a função inversa. O conteúdo aqui é sobre funções inversas, que são funções que “desfazem” o que a função original faz. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a inversa de uma função e verificar se a função é uma bijeção (ou seja, injetora e sobrejetora) no seu domínio, o que garante que ela tenha uma inversa.

Passo 2

Vamos começar com a função (a) .
Para saber se essa função é inversível, verificamos se ela é estritamente crescente ou decrescente, o que significa que ela passa no teste da linha horizontal e é injetora. Como a inclinação é 2 (positiva), a função é crescente e, portanto, inversível.
Agora, para encontrar a inversa, vamos seguir esses passos:
  1. Trocar por :
  2. Trocar e :
  3. Isolar :
Então, a função inversa é .

Passo 3

Agora, vamos para a função (b) .
Primeiro, verificamos se essa função é inversível no seu domínio. O domínio dessa função é . A função é estritamente decrescente nesse intervalo, então é injetora e, portanto, inversível.
Para encontrar a inversa:
  1. Trocar por :
  2. Trocar e :
  3. Isolar :
Interessante, a função inversa é ela mesma: .

Passo 4

Vamos para a função © .
Primeiro, determinamos o domínio dessa função: . A função é decrescente nesse domínio, então é injetora e inversível.
Para achar a inversa:
  1. Trocar por :
  2. Trocar e :
  3. Isolar :
Então, a função inversa é .

Passo 5

Agora, a função (d) .
Primeiro, identificamos o domínio: . Para verificar se é inversível, analisamos se a função é injetora. Calculando a derivada, vemos que a função é estritamente crescente ou decrescente, o que indica que é injetora e, portanto, inversível.
Para encontrar a inversa:
  1. Trocar por :
  2. Trocar e :
  3. Isolar :
    Multiplicando ambos os lados por : Reagrupando os termos com :
Então, a função inversa é .

Passo 6

Por fim, a função (e) .
Primeiro, pensamos no domínio. Se o domínio for todos os números reais, a função não é inversível porque não é injetora (por exemplo, ). Porém, se restringirmos o domínio a ou , ela se torna injetora e inversível.
Assumindo que o domínio é :
  1. Trocar por :
  2. Trocar e :
  3. Isolar :
Então, a função inversa é , válida para .

Resposta

Todas as funções são inversíveis nos seus respectivos domínios, e suas inversas são:
a)
b)
c)
d)
e) (válida para )

Exercícios relacionados

Determine o domínio das seguintes funções:
(a)
(e)
(b)
(f)
©
(g)
(d)
(h)
Calcule o domínio e a imagem de cada função. Quando for inversível, calcule a inversa, e faça o esboços dos gráficos de e num mesmo sistema de eixos.
Encontre o volume do sólido limitado pelos planos e pelo cilindro parabólico .
Calcule:
(a)
(d)
(b)
(e)
©
(f)