Calcule domínio, imagem, período, intervalos de positividade, e esboce o gráfico: f(x) = sen(2x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A função que vamos analisar é . Vamos trabalhar com conceitos de funções trigonométricas, especificamente o seno. Para resolver esse exercício, precisamos determinar o domínio, a imagem, o período, os intervalos de positividade e, por fim, esboçar o gráfico dessa função.

Passo 2

Domínio da função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. A função seno, , está definida para todos os números reais, ou seja, não há restrições nos valores de .
Então, para , o domínio também é todos os números reais.
í

Passo 3

Imagem da função
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. A função seno sempre varia entre -1 e 1, independentemente do coeficiente que multiplica .
Portanto, a imagem de é:

Passo 4

Período da função
O período de uma função periódica é o menor intervalo em que o gráfico da funç��o se repete. Para a função , o período é dado por:
No nosso caso, :
Então, o período de é .

Passo 5

Intervalos de positividade
Vamos determinar onde é positiva. O seno é positivo quando seu argumento está entre e :
E, como a função é periódica com período , os intervalos de positividade serão:

Passo 6

Intervalos de negatividade
Analogamente, a função seno é negativa quando seu argumento está entre e :
E, considerando o período , os intervalos de negatividade serão:

Passo 7

Esboço do gráfico
Para esboçar o gráfico de , consideramos as seguintes características:
  • Amplitude: 1 (já que o coeficiente de é 1)
  • Período:
  • Domínio: Todos os números reais
  • Imagem: Entre -1 e 1
  • Zeramentos: Onde , ou seja,
O gráfico será uma onda seno com ciclos repetidos a cada unidades no eixo , alternando entre subir até 1 e descer até -1.

Resposta

  • Domínio:
  • Imagem:
  • Período:
  • Intervalos de positividade: para todo
  • Intervalos de negatividade: para todo
  • Gráfico: Uma onda seno com amplitude 1, período , passando por todas as réguas descritas acima.

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