Calcule domínio, imagem, período, intervalos de positividade, e esboce o gráfico:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A função que vamos analisar é
. Vamos trabalhar com conceitos de funções trigonométricas, especificamente o seno. Para resolver esse exercício, precisamos determinar o domínio, a imagem, o período, os intervalos de positividade e, por fim, esboçar o gráfico dessa função.
Passo 2
Domínio da função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. A função seno,
, está definida para todos os números reais, ou seja, não há restrições nos valores de
.
Então, para
, o domínio também é todos os números reais.
Passo 3
Imagem da função
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. A função seno sempre varia entre -1 e 1, independentemente do coeficiente que multiplica
.
Portanto, a imagem de
é:
Passo 4
Período da função
O período de uma função periódica é o menor intervalo em que o gráfico da funç��o se repete. Para a função
, o período
é dado por:
No nosso caso,
:
Então, o período de
é
.
Passo 5
Intervalos de positividade
Vamos determinar onde
é positiva. O seno é positivo quando seu argumento está entre
e
:
E, como a função é periódica com período
, os intervalos de positividade serão:
Passo 6
Intervalos de negatividade
Analogamente, a função seno é negativa quando seu argumento está entre
e
:
E, considerando o período
, os intervalos de negatividade serão:
Passo 7
Esboço do gráfico
Para esboçar o gráfico de
, consideramos as seguintes características:
- Amplitude: 1 (já que o coeficiente de
é 1) - Período:
- Domínio: Todos os números reais
- Imagem: Entre -1 e 1
- Zeramentos: Onde
, ou seja,
O gráfico será uma onda seno com ciclos repetidos a cada
unidades no eixo
, alternando entre subir até 1 e descer até -1.
Resposta
- Domínio:
- Imagem:
- Período:
- Intervalos de positividade:
para todo - Intervalos de negatividade:
para todo - Gráfico: Uma onda seno com amplitude 1, período
, passando por todas as réguas descritas acima.